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天津市和平区双菱中学2025-2026学年七年级下学期第一次学情自测数学试卷
一、单选题
1．下列各式中运算正确的是（）
A． B．
C． D．
2．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
C．相等的两个角是对顶角
D．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交
3．如图，将边长为5的正方形沿BC的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．50
4．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则
B．任何一个角都比它的补角小
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
5．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点E在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，∠COF的度数是（ ）
A．146° B．147° C．157° D．136°
7．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．估计的值的大致范围，正确的是（ ）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
9．已知a是的负的平方根，，，则中最大的实数与最小的实数的差是（ ）
A．6 B． C． D．
10．将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
11．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，，一副三角板如图摆放，∠EDF＝60°，∠BAC＝45°，若，下列结论：①；②∠GAB＝30°；③EC平分∠FED；④∠AED＝135°．

其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．定义新运算“☆”：．则______．
14．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为___________．
15．若，则的值为___________．
16．如图，，，则图中与相等的角（除外）共有______个．
17．若，则的算术平方根为_____________．
18．如图1，，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿直线GF折叠成图3，则图3中__________．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根．
(1)求、、的值；
(2)求的平方根．
21．如图，点E、F分别在上，于点O，，，求证：．
请填空．证明：∵（已知）
∴（　　　　　）
又∵（已知）
∴　　　　　（同位角相等，两直线平行）
∴（　　　　　）
∴（　　　　　）
又∵（　　　　　）
∴（　　　　　）
又∵（已知）
∴（　　　　　）
∴．（　　　　　）
22．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．

(1)求长方形信封的长和宽；
(2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
23．如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，且，求的度数．
24．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．

(1)填空：________（填“>”“<”或“=”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
参考答案
1．D
【详解】A、，本选项错误，不符合题意；
B、，本选项错误，不符合题意；
C、，本选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
2．D
【详解】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，此选项不符合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，此选项不符合题意；
C、两个角有一个公共顶点，一个角的两边是另外一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，此选项不符合题意；
D、根据平移的性质，该选项说法正确，此选项符合题意；
故选：D．
3．A
解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形，
所以阴影部分的面积．
故选：A
4．A
解：A选项：若，则，选项是真命题；
B选项：，则的角等于它的补角，选项是假命题；
C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是加，假命题；
D选项：如：，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命题．
故选：A．
5．D
解：∵正方形的面积为，
∴，
∵点在数轴上表示的数为，
∴点所表示的数为，
故选：．
6．B
解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝66°．
又∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝＝33°．
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝180°﹣33°＝147°．
故选：B．
7．B
解：，
，
，
∴，
故选：B．
8．A
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
9．A
解：∵a是的负的平方根，，，
∴，，，
∴中最大的实数为2与最小的实数的差；
故选：A．
10．A
解：由题意可知，
∴，
由三角板的特点可知：，
，
故选：A．
11．C
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④，共3个．
故选：C．
12．D
解：如图，交于点，

，，，，
，，，故正确，符合题意；
，，，，
，，，，
，，，故正确，符合题意；
，，，，
，，，
，故正确，符合题意；
，，，
故正确，符合题意．
故选：D
13．5
解：∵，
∴，
∴
故答案为：5
14．/度
解：如图所示，过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴路政工程车的工作示意图中的度数为，
故答案为： ．
15．
解：由题意得，，．
解得，，，
则，
故答案为：．
16．5
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴图中与相等的角（除外）有、、、、，共5个．
故答案为：5．
17．5
解：由题意可得，
解得：，
∴，
∴，
∴的算术平方根是5．
故答案为：5．
18．/108度
解：∵，，
∴图2中，，，
∵，
∴，
在图3中，,
∴，
故答案为：．
19．(1)1
(2)
(3)
(4)或
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：由得，
∴；
解得：；
（4）解：由得，
解得或．
20．(1)，，
(2)
（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得，
∵的算术平方根是3，
∴，即，
解得，
∵是的算术平方根，，
∴，
综上，，，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
21．垂直的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【详解】证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
又∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
又∵（平角的定义）
∴
又∵（已知）
∴（同角的余角相等）
∴．（内错角相等，两直线平行）
22．(1)长为，宽为
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，见解析
【详解】（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，所以，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
23．(1)．理由见解析
(2)
（1）解：．
理由：∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
解得．
∴．
24．(1)
(2)①；②或
（1）解：如图，过点P作，交于点Q，
则，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，，
，
，
的平分线交直线于点，
，
，
，
，
；
②当点N在点G的右侧时．
，，
，
，
，
，
的平分线交直线于点，
，
又，
；
当点N在点G的左侧时，如图：
，，
，
，
，
，，
，
的平分线交直线于点，
，
，
综上可知，的度数为或．

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