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天津市双菱中学2025-2026学年上学期九年级数学阶段检测试卷
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．计算的值（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．如图，立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的两根为、，则等于（ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
5．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．2
9．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
10．如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（ ）
A．平分 B．点在射线上
C． D．的半径为1
12．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点B运动；点从点C同时出发，以的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，的长度为，y与x的对应关系如图所示，最低点为．对于下列说法：①，②，③， 当时，．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______．
14．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____．
15．如图所示，过半径为的外一点P引圆的切线，，连接交于F，过F作的切线，交，分别于D，E，如果，，则的度数________．
16．2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________．
17．如图，正方形内接于，且，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接，则长的最小值为___________．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的端点A，B均落在格点上．
（Ⅰ）线段的长等于________；
（Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点，在上有一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如下表．
x … 0 1 m 3 …
y … 0 1 0 …
根据题意完成下列各问：
(1)________，顶点坐标为________；
(2)该二次函数的解析式________；
(3)当x________，y随x增大而增大；
(4)当时，x的取值范围是________；
(5)当时，y的取值范围是________．
21．如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为．
(1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）；
(2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，．
23．已知中，，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为．
(1)若，边上的一点M旋转后的对应点为N，如图1，当时，求点N的坐标和的长度；
(2)如图3，若，求点的坐标；
(3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围为________．
25．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，其中点．点为轴上一动点．
(1)若，连接．
①求：点的坐标和抛物线的解析式；
②当时，过点作轴，与抛物线相交于点，过点作，垂足为点．求的最大值，及此时点的坐标；
(2)点在抛物线上，连接，当的最小值为时，直接写出此时的值．
参考答案
1．B
解：对于选项A，其不满足中心对称图形的定义，故不符合题意；
对于选项B，其是中心对称图形，故符合题意；
对于选项C，其不满足中心对称图形的定义，故不符合题意；
对于选项D，其不满足中心对称图形的定义，故不符合题意．
故选：B．
2．A
解：，
故选：A．
3．B
解：从正面看有两层，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
4．C
【详解】∵由于，∴，故选C．
5．D
解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
6．A
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
7．C
解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，
∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，
∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，
故选：．
8．A
解：设宽为x步，则长为步
由题意，得：，
故选：A.
9．B
解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故选：B．
10．B
解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故选B．
11．D
解：由作图可知：平分，故选项A正确；
∵是的内切圆，
∴点为三角形三条角平分线的交点，
∴点在射线上，故选项B正确；
连接，则：，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，故选项C正确；
∵，，，
∴，
设的半径为，则：，
∴，
∴，
∴，故选项D错误；
故选D．
12．A
解：由图象经过可知当时，，
∴，
由图象最低点是可知当时，，
此时，
∵，，
∴此时四边形为矩形，
∴，
∴根据勾股定理得，故正确，
点最多运动，
由最后一个点可知运动时，
此时与重合，，
∴的长是求不出来的，
∴①③④不能判断对错，
故选：A．
13．
解：如图，
由题意得，，，
∴，
∴圆锥侧面展开图的面积为，
故答案为：．
14．．
解：∵以点为位似中心，将放大后得到，，
∴．
故答案为．
15．
解：连接、，如下图所示：
∵、、为的切线，
∴、、、，
∵、，，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
在四边形中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，
根据题意可列出表格如下：
第一个第二个 A
A —
—
—
—
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．
故答案为：．
17．/
解：∵，
∴，
∴点F在以为直径的上，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
18． 作图见解析
解：（Ⅰ）由勾股定理得：，
故答案为：．
（Ⅱ）连接MN，∠MAN=90°，则MN为直径，
连接AP交圆于Q，由格点△ASP≌△BTA可证得：∠PAB=90°，
连接BQ，BQ为直径，且BQ与MN的交点即为圆心O．
连接AC，交中间水平的网格线于点F，可知F为AC的中点，
连接OF并延长交AB于I，则OI为弦AC的垂直平分线，
连接CI并延长交⊙O于点D，
该点即为所求．
理由：∵OI为AC的垂直平分线，
∴CI=AI，
∴∠ACI=∠CAI，
∴，
∴．
19．(1)，
(2)，
（1）解：，
因式分解可得：，
可得：或，
解得：，；
（2）解：，
整理得：，
移项得：，
提公因式得：，
可得：或，
解得：，．
20．(1)2，
(2)
(3)
(4)
(5)
（1）解：由表格中数据可得关于抛物线对称轴的对称点是，
可得对称轴为直线，
顶点为，
的对称点是，
，
故答案为：2，；
（2）解：设该函数解析式为，
点，，在该函数图象上，
，
解得，
该二次函数的解析式为．
故答案为：；
（3）解：对称轴为直线，，
当时，y随x增大而增大，
故答案为：；
（4）解：当时，x的取值范围是，
故答案为：；
（5）解：当时，，
当时，，
对称轴在内，
当时，y的取值范围是，
故答案为：．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接，
，
则，
设，，
，
，
为的直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的切线，则，又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
22．(1)两座山之间水平距离约为
(2)这座山的高度为
（1）解：由题意知，，，，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
两座山之间水平距离约为；
（2）解：过点作，垂足为点，
，
，
四边形是矩形，
，，
由题意可知，
在中，，
，
，
答：这座山的高度为．
23．(1)；
(2)
（1）解：如图1所示，
∵为的切线，且为直径，
∴于点，即，
∵，
∴，
∴，
即于点，
∵于点，且为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
由（1）可知，且，
∵，，
∴，
∴在中，，，
∴，
设，则，
∴由勾股定理，
即，
解得，负值舍去，
即线段的长为．
24．(1)(1) ；
(2)
(3)
（1）解： 点，点，
，
由旋转的性质可知，
，
由题意，横坐标为，纵坐标为，
，
点坐标，
；
（2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，如图，
绕点顺时针旋转得，
，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
，
；
（3）如图③-1中， 当点落在的延长线上时，的面积最大，
由题意，
，
，
，
，
的面积的最大值，
如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，
最小值为；
故答案为：．
25．(1)①，，②，
(2)，
（1）解：①∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，且，
∴
解得，
∴
把代入，
解得，
∴，
∵抛物线与轴相交于点和点，且对称轴为直线，且
∴
解得；
∴；
②∵，且，
∴，
∵抛物线与轴相交于点，
∴，
∴，
如图，设交于点Q，
∵，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入
得
解得
∴的解析式为，
∵，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值为，
此时，，
∴；
（2）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵，则，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方，
如图，将绕点Q逆时针旋转得到，过点Q作于点H，则，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，
∴，
当与x轴重合时，即三点共线，
此时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵的最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，则．

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