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专题十四：新定义题解答策略
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
新定义问题 2021年Ⅱ卷4 2021年Ⅱ卷12 2021全国乙卷9 三角函数 数列与函数性质 解三角形
2022年Ⅰ卷20 概率新概念公式，运算
2023年Ⅰ卷10 函数的性质
2024年Ⅰ卷11 2024年Ⅰ卷19 圆锥曲线性质 数列新定义，概率
近五年新高考数学中，新定义问题为高频拉分题型，常置于多选压轴、解答中后题位置，难度跨度大、区分度强、分值占比稳定。新定义题型考查覆盖面广，多以数列、集合、解析几何、概率统计为载体，创设全新概念、规则与情境；既常规考查概念理解、符号翻译、逻辑推理，又常结合含参分析、抽象推理、组合计数综合设问。命题极少单纯考查知识识记，多融合模块交汇背景，重点考查即时阅读理解、信息迁移、抽象概括与数学建模能力，整体考查稳中有新、层层递进，聚焦高阶思维与核心素养选拔功能。
【易错点提醒】
1．【2022长春二模】已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【错解】思维定式，错看成求，错选B项.
【正解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，对任意的，，则，C对；
对于D选项，，而，D错. 故选：C.
2．【2026上海一模】对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是
A．2026!!的个位数字为0
B．2025!!的个位数字为5
C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列
D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列
【错解】套用传统数列的公式,不能从数论分析上理解新运算规则，错选C项.
【正解】对于A，中包含因数10，所以的个位数字为0，A选项正确；
对于B，中包含因数5，且因数均为奇数，所以的个位数字为5，B选项正确；
对于C，，，
所以有，又，，
所以和和不可构成等比数列，C选项正确；
对于D，若构成等差数列，则有，
当n为正偶数：设，则，，，
代入等差条件，得，即，
由和都是奇数，则也是奇数，则，
而时，，等式不成立，此时无解；
当为正奇数：设，则，，，
代入等差条件，得，即，
为奇数，为偶数，则为偶数，又时，，要成立，
则中只能有这一个偶数因数，否则等式两边约去后，左边为偶数右边为奇数，不成立，则有，此时，等式成立.
因此，只有时构成等差数列，D选项错误.故选：D.
3．【2020新高考Ⅱ卷】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A． B． C． D．
【错解】审题不仔细， 计算错误.错选B.
【正解】由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，，不满足；
对于选项D，，不满足；故选：C.
4．【2026深圳三模】下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是
A． B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称
【错解】线段围圆映射背景容易出现理解错误，将1与圆心坐标、半径混淆，出现函数判断错误，错选A.
【正解】如图，因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，
对于A，当时，的坐标为，，
直线的方程为，即，所以点的坐标为，故，即A错.
对于B，因为实数所在区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性．故B错．
对于C，当实数越来越大时，直线与轴的交点也越来越往右，
即也越来越大，所以在定义域上单调递增，即C对．
对于D，当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，
再由图形可知的图象关于点，对称，而非关于轴对称，即D错．
故选：C．
5．【2026南通一模】设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有
A．若，则数列是“均增数列”
B．若等差数列是“均增数列”，则公差
C．若是“均增数列”，则
D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列”
【错解】不能清晰理解“均增数列”新定义，用定义转化、不等式放缩等判断D选项，忽视题目间联系，不借用D判断C，易漏选D,错选C.
【正解】由，可得，则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确；由等差数列是“均增数列”，且，则由可得：，故B正确；
当，取时，，要证明，
只需要证明，即证，
则只需要证明，
当为奇数，不等式显然成立，当为偶数，要证明，
因为，对任意都成立，
所以，即对任意为偶数也成立，即原不等式对任意都成立，
所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确；
由于是“均增数列”，由于，，不满足，故C错误；故选：ABD.
【典型真题】
1.圆锥曲线新定义问题
【2024新高考Ⅰ卷】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
点在C上
在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
当点在C上时，
【答案】ABD
【分析】本题新定义了曲线，考查了曲线与方程，利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用函数的单调性比较大小，属于较难题.
【解答】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得，取，则，
而，故此时，故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，
故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.故选：ABD.
2.三角函数新定义问题
【2021新高考Ⅱ卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为（轨道高度指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数.地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为(单位:),则占地球表面积的百分比约为(　　)
A.26% B.34% C.42% D.50%
【答案】C 【解答】由已知得,则.故选C.
3.函数新定义问题
【2023新高考Ⅰ卷】噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则(　　)
A. B. C. D.
【答案】ACD
【分析】此题通过新定义公式，考查了对数运算在实际问题中的应用，根据题意分别计算的范围，进行比较即可求解．
【解答】由题意可知, 燃油汽车,所以，①
同理，② ③
对于A选项,由表知,即所以A正确;
对于B选项,由,得,所以,所以,所以B错误;
对于C选项,由③,得故,所以C正确;
对于D选项,由,得,所以.所以.所以D正确.故选ACD.
4.数列新定义问题
【2024新高考Ⅰ卷】设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】本题主要考查数列的新定义问题，属于难题．(1)直接根据新定义即可写出；(2)根据当时和当时，分类讨论即可完成证明；(3)结合结论，在两种情况下证明命题1、2同时成立即为可分数列，即可得证．
【解答】(1)首先，我们设数列的公差为，则.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形，
得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
(2)由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组.（如果，则忽略②）
故数列是可分数列.
定义集合，
.
下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，则数列一定是可分数列：
命题1：或； 命题2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果，且.此时设，，.
则由可知，即，故.
此时，由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组；
③，共组.（如果某一部分的组数为，则忽略之）
故此时数列是可分数列.
第二种情况：如果，且.此时设，，.
则由可知，即，故.
由于，故，从而，这就意味着.
此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，，共组；
③全体，其中，共组；
④，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数：
，，，.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列.
至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列.
然后我们来考虑这样的的个数.
首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；
而如果，假设，则可设，，代入得.
但这导致，矛盾，所以.
设，，，则，即.
所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个.
所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.
这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.
当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于.
而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个.
所以数列是可分数列的概率一定满足
. 这就证明了结论.
5.概率新定义问题
【2022新高考Ⅰ卷节选】一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为
证明：
利用该调查数据，给出，的估计值，并利用的结果给出R的估计值.
附：，
k
【答案】证明见解析6
【分析】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属中档题.
虽然是新定义的公式，但是利用条件概率的计算公式即可证明；将数据代入公式即可求解.
【解答】
解：得到列联表如下：
不够良好 良好 总计
病例组 40 60 100
对照组 10 90 100
总计 50 150 200
，
有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;
证明：，，，，
又，，，，
，
，，，
，，，
即，，R的估计值为
【教材好题】
【选择性必修第二册P5-3】除数函数的函数值等于n的正因数的个数，例如，写出数列，，…，，…的前10项.
【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，
【详解】由题意可得，因为，所以，因为，所以，
因为，所以，因为，所以，因为，所以，
因为，所以，因为，所以，因为，所以，
因为，所以，所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，
故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，
【选择性必修第二册P54-3（1）】预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数.如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变
【答案】B
【详解】方法1：
，.又，，，即，
方法2：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有，则人口数呈下降趋势.故选专题十四：新定义题解答策略
【必备知识】
【高考规律】
考查内容 考题统计 考情分析
新定义问题 2021年Ⅱ卷4 2021年Ⅱ卷12 2021全国乙卷9 三角函数 数列与函数性质 解三角形
2022年Ⅰ卷20 概率新概念公式，运算
2023年Ⅰ卷10 函数的性质
2024年Ⅰ卷11 2024年Ⅰ卷19 圆锥曲线性质 数列新定义，概率
近五年新高考数学中，新定义问题为高频拉分题型，常置于多选压轴、解答中后题位置，难度跨度大、区分度强、分值占比稳定。新定义题型考查覆盖面广，多以数列、集合、解析几何、概率统计为载体，创设全新概念、规则与情境；既常规考查概念理解、符号翻译、逻辑推理，又常结合含参分析、抽象推理、组合计数综合设问。命题极少单纯考查知识识记，多融合模块交汇背景，重点考查即时阅读理解、信息迁移、抽象概括与数学建模能力，整体考查稳中有新、层层递进，聚焦高阶思维与核心素养选拔功能。
【易错点提醒】
1．【2022长春二模】已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．【2026上海一模】对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是
A．2026!!的个位数字为0
B．2025!!的个位数字为5
C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列
D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列
3．【2020新高考Ⅱ卷】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A． B． C． D．
4．【2026深圳三模】下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．
则下列命题中正确的是
A． B．是奇函数
C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称
5．【2026南通一模】设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有
A．若，则数列是“均增数列”
B．若等差数列是“均增数列”，则公差
C．若是“均增数列”，则
D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列”
【典型真题】
1.圆锥曲线新定义问题
【2024新高考Ⅰ卷】设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
点在C上
在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
当点在C上时，
2.三角函数新定义问题
【2021新高考Ⅱ卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为（轨道高度指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数.地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为(单位:),则占地球表面积的百分比约为(　　)
A.26% B.34% C.42% D.50%
3.函数新定义问题
【2023新高考Ⅰ卷】噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则(　　)
A. B. C. D.
4.数列新定义问题
【2024新高考Ⅰ卷】设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
5.概率新定义问题
【2022新高考Ⅰ卷节选】一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为
证明：
利用该调查数据，给出，的估计值，并利用的结果给出R的估计值.
附：，
k
【教材好题】
【选择性必修第二册P5-3】除数函数的函数值等于n的正因数的个数，例如，写出数列，，…，，…的前10项.
【选择性必修第二册P54-3（1）】预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数.如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变

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