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模拟预测试题 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．数轴上的点表示，将点向左平移个单位后得到点，那么点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2．我县为践行健康第一教育理念，促进学生全面发展，要求全县所有学校从2024年秋季学期开始必须保障学生每天两个小时体育活动时间．郁南县实验中学为贯彻落实该项政策组织了九年级学生开展以“坚持运动，践行健康”为主题的体育运动项目图标设计比赛．下列是一些同学设计的关于体育运动项目图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字大于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ）
A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2
9．为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．经了解，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团的购买方案的种数一共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
11．中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．请将数据440万用科学记数法表示为_________．
12．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．
13．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______．
14．如图，将一个含角的三角尺（）放在直角坐标系中，使直角顶点O在原点上，顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，则k的值为_________．
15．在三角形纸片中，，，，将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的一点处，折痕记为（如图1），剪去后得到双层（如图2），再沿着过某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为______．

16．如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，过点作直线的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点……如此下去，则的面积为_________．
三、解答题
17．解方程：x2－2x－3＝0
18．如图，已知点A、D、C、E在同一直线上，，，．求证：．
19．先化简，再求值：，从－2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
20．某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
(1)______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
(2)若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数；
(3)小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率．
21．为应对“电商”大促、提升快递分拣效率，某快递公司引入智能分拣机器人，已知一台机器人比一名人工分拣员每小时多分拣件包裹，已知一台机器人分拣件包裹所用的时间，与名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等．
(1)求一台分拣机器人、一名人工分拣员每小时分别分拣多少件包裹？
(2)现“电商”期间，需要紧急分拣件包裹，已有台分拣机器人投入工作，问至少还需要安排多少名人工分拣员，才能保证在小时内完成所有包裹分拣任务？
22．如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且．
(1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形；
(2)连结，求证：．
23．如图，中，，．

(1)动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点D，与的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)综合应用：在你所作的图中，
①求证：；②求点D到的距离．
24．综合探究与应用
问题提出：
(1)如图1，菱形内有一动点，且．若，，则线段长度的最小值为 ．
问题探究：
(2)如图2，五边形中，，，，，，点在边上，且．问：在边上是否存在一点，使最小，且平分五边形周长？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)在某块平地上有一条长100米的笔直小道，王先生计划以该小道为对角线开垦一块多边形试验田．根据实际情况，他首先在纸上画出这块试验田的设计图．如图3，是王先生画出的设计图的一部分，其中线段表示长为100米的小道．他的设计步骤如下：
①在平面上取一点P，使；
②过点P作线段，，，三点在直线的同侧，且，，；
③在下方作射线，使平分，过作于点，连接．
王先生设计的试验田即为五边形．他计划沿修一条灌溉水渠，使水渠两旁的试验田面积相等．请补画第③步，并探究根据王先生的设计，是否存在符合要求的水渠？若存在，请求出此时该试验田的面积；若不存在，请说明理由．
25．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B D B A D C D
1．A
【分析】本题考查了数轴上点的平移，有理数减法，熟练掌握数轴上点的平移规律是解题的关键．
根据数轴上点的平移规律，向左平移个单位，即减去．
【详解】解：根据题意得，点表示的数为，
故选：A ．
2．D
【分析】根据轴对称图形的定义解题即可．
【详解】解：A：不是轴对称图形，故该选项不合题意；
B：不是轴对称图形，故该选项不合题意；
C：不是轴对称图形，故该选项不合题意；
D：是轴对称图形，故该选项符合题意．
3．B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：218000000用科学记数法表示为．
故选：B．
4．B
【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可．
本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
【详解】解：“榫”的俯视图是：
故选：B．
5．D
【分析】运用同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：对于选项A，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误；
对于选项B，∵积的乘方等于各因式分别乘方的积，∴，B错误；
对于选项C，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C错误；
对于选项D，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D正确．
6．B
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【详解】解：由题意可知一共有种结果，其中数字大于的结果有抽到和两种，所以概率为．
故选：B．
7．A
【分析】连接OC，OD，构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD= =60°，
∴∠CPD= ∠COD=30°.
故选A．
【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题的关键是构造圆心角．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
，
，
，
代数式有最大值2，
故选：D．
9．C
【分析】设出两种球的购买数量，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可．
【详解】解：设购买篮球个，足球个，，均为正整数，
根据题意列方程，得
，
化简，得 ，
整理，得 ，
∵，均为正整数，
为整数，
又与互质，
是的倍数，
由得 ，解得，
又，因此的可取的值为，对应为，均符合要求，
因此该社团共有种购买方案．
10．D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
11．
【分析】先将440万转化为普通整数，再根据科学记数法的定义确定和的值，科学记数法的表示形式为，其中，为整数.
【详解】解：万，根据科学记数法的定义可得：.
12．2
【详解】解：扇形的弧长==2πr，
∴圆锥的底面半径为r=2．
故答案为2．
13．
【分析】作于点，根据尺规作图可得平分，由角平分线的性质可得，直接计算的面积即可．
【详解】解：如图，作于点，
由题意可得，平分，
∵，，
∴，
∴．
14．15
【分析】过作轴于，过作轴于,通过，得到相似比，设，于是能用表示出，，从而得到，于是求得结果．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，
，，
，
∵轴，，
，
，
，
，
设，
，，
，，
，
．
15．或
【分析】解直角三角形得到，，根据折叠的性质得到，，求得，，如图，平行四边形的边是，，如图，平行四边形的边是，，于是得到结论．
【详解】

解：，，，
，，
由折叠可知：，
，，
，，
①如图，作，
平行四边形的边是，，且，
设，则，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
平行四边形的周长，
②如图，作，
平行四边形的边是，，且，
平行四边形的周长，
综上所述：平行四边形的周长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
16．
【分析】根据点的坐标为，求出点的坐标为，点的坐标为，即可得到，利用三角形的面积公式可得，可证，根据相似三角形的性质可以求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，同理可以求出，根据规律可得：．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
可证，
，
，
，
点的坐标是，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
由规律可知，．
17．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
18．证明：在和中，
，，，
，
，
．
【分析】先证明，得到对应角相等，从而证明两直线平行即可．
【详解】略
19．，当，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件确定，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义
∴，
∴且且，
∴当，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟知相关知识是解题的关键．
20．(1)15；
(2)120名
(3)
【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和统计表以及熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解；（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
（2）解：（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
21．(1)一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹
(2)至少还需要安排名人工分拣员
【分析】（1）设一名人工分拣员每小时分拣件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹，根据一台机器人分拣件包裹所用的时间与名人工分拣员共同分拣件包裹所用的时间相等列分式方程并解方程即可得到答案．
（2）设还需要安排名人工分拣员，根据需要至少在小时内完成件包裹分拣列一元一次不等式，解不等式后取的最小整数解即可．
【详解】（1）解：设一名人工分拣员每小时分拣件包裹，则一台机器人每小时分拣件包裹，
根据题意可列方程：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一台分拣机器人每小时分拣件包裹，一名人工分拣员每小时分拣件包裹；
（2）解：设还需要安排名人工分拣员，
根据题意可列不等式：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
答：至少还需要安排名人工分拣员．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质：
（1）由题意知，再由垂直证明即可求证；
（2）过点A作交于点N，先证明得出，，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：过点A作交于点N，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)作图见解析；
(2)①证明见解析；②．
【分析】（1）先作出的中垂线，其与的交点即为圆心O，再以O为圆心，以的长画圆分别交于D，交于E即可；
（2）①连接是的中垂线，得到，得出即可证明；②先解直角三角形求出，则，利用圆内接四边形的性质证明，进而证明，利用相似三角形的性质求出，再利用余弦求出，用勾股定理求出．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：①如图所示，连接，

∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
②如图所示，连接，作于点M，

∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵点A、D、E、C共圆，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，三线合一定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线根据直径所对的圆周角是直角得到是解题的关键．
24．(1)，
(2)在边上存在一点，使最小，且平分五边形的周长，；
(3)补画第③步如下，
根据王先生的设计，存在符合要求的水渠，此时该试验田的面积为平方米．
【分析】（1）连接，作于点，连接，由菱形的性质，可得为等边三角形，可得，由直角三角形的性质，可得，点在以为半径的上，当点为与的交点时，线段的长度最小，解直角三角形，可得，即可得线段长度的最小值；
（2）延长、，交于点，在延长线上截取，连接、、，连接，交于点，四边形是矩形，由矩形的性质，结合勾股定理，可得，可得，、为等腰直角三角形，可得，可得，平分五边形的周长，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，当点与点重合时，最小，且平分五边形的周长，即可求解；
（3）根据题意补画第③步，由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，分别作、的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径作，交射线于点，连接连接、、，则，点、、在以为半径的上，由圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理，可得，点与点重合，解直角三角形，可得米，作于点，作于点，四边形是矩形，，证明，，可得，可得，，四边形是正方形，解直角三角形，可得米，即可求解．
【详解】（1）解：连接，作于点，连接，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为半径的上，
∴当点为与的交点时，线段的长度最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值为．
（2）解：延长、，交于点，在延长线上截取，连接、、，连接，交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，,
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴平分五边形的周长，
∵，，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，最小，
∴当点与点重合时，最小，且平分五边形的周长，
∴在边上存在一点，使最小，且平分五边形的周长，．
（3）解：补画第③步略，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
分别作、的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径作，交射线于点，连接连接、、，则，
∴点、、在以为半径的上，
∵，
∴，
∴，
∴于点，
∵，
∴，
∴，
∴点在射线上，
又∵于点，于点，
∴点与点重合，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
作于点，作于点，则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
根据题意可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，四边形是正方形，
∴（米），
∴米，
∴
平方米，
∴根据王先生的设计，存在符合要求的水渠，此时该试验田的面积为平方米．
25．（1）c=1；（2）a≠1且a＞0；（3）见解析，1
【分析】（1）把点C的坐标代入二次函数解析式中即可求得c的值；
（2）把点A的坐标代入函数解析式中得到用a的代数式表示b，再由已知得到一元二次方程的判别式为正，即可求得a的取值范围；
（3）设A（m，0），B（n，0），由根与系数的关系可求得AB的长，易得CD的长；过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，由三角形相似的判定与性质可分别求得PM、PN的长，从而可分别求得S1－S2的值为定值．
【详解】（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．
（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=﹣1﹣a，
ax2+bx+1=0，
b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
答：a的取值范围是a≠1且a＞0；
（3）证明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右边，
设A（m，0），B（n，0），
∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，
由根与系数的关系得：m+n=，，
∴AB=n﹣m=，
把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，
解得：x1=0，x2=，
∴CD=，
过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴，
∴，
∴PN=，PM=，
∴S1﹣S2=－，
即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数．
答：这个常数是1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键．
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