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2025-2026学年山东省济南市天桥区汇才学校七年级（下）期中
数学试卷
一、选择题
1.“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”这是清朝袁枚所写五言绝句苔，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值苔花也被称为“坚韧之花”袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞蒴，某孢子体的苞蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 购买一张福利彩票，中奖
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正在播放广告
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，有一个不规则的图案图中画图部分，小帆想估算该图案的面积他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，则不规则图案的面积大约为( )
A. B. C. D.
7.下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
8.我们曾经学习“过直线外一点作直线的平行线”的一种方法，如图：
在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；
以点为圆心，以的长为半径作弧；
以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点；
过点，作直线，则．
如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是( )
A. B. C. D.
9.如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.数学领域中，世纪数学家欧拉率先引进求和符号“”如记，；已知，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如果一个角的余角是，那么这个角是 。
12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ．
13.已知是完全平方式，则的值为 ．
14.如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，若阴影部分的面积为，则的面积为 ．
15.如图，，，，连结，，且于点，与直线交于点若，，则的面积为 ．
三、解答题
16.计算：
；
；
；
简便运算．
17.先化简，再求值：，其中，．
18.如图，点、、和点、、分别在同一直线上，、分别交于点、，，，求证：．
证明：，
______ ．
______ ．
，
．
______ ______ ______ ．
______ ______ ．
又______ ______ ，
．
19.如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为．
证明：；
若拉绳与地面平行，即，，，求的度数．
20.如图，点、在上，，，求证：≌．
21.在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的个小球，且只有颜色不同某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
上表中的______．
摸到白球的概率的估计值是______精确到
请问：若摸到白球的概率是中的情况时，再添加个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
22.如图，现有一块长为，宽为的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为的正方形花坛，并将其余空地图中阴影部分进行绿化．
求需要进行绿化的空地面积用含，的代数式表示，并化简；
若，，绿化空地的价格为元，则完成绿化共需要多少元？
23.解答：
【阅读材料】
数学课上，有这样一道题；已知，，求的值．
某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值方法如下：因为，，所以，即，则______；
若满足，求的值；
【问题解决】
如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形阴影部分区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积．
24.综合与实践
问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术如图，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．
探索发现：
如图，太阳光线，平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是______．
如图，，点，分别在，上，点是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程．
拓展延伸：
如图，在的条件下，在，之间，左侧再取一点，连接，若使，，求与之间的数量关系．
25.如图，在中，，，，分别为，边上的点，连接，交于点，．
如图，求证：；
如图，以为边作，，，连接，为中点，连接，求证：；
为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路：
延长至点，使得，连接，通过证明≌推出；
通过证明≌推出，则；
请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程．
如图，为上一点，连接，为中点，连接，分别为，上的点，连接，交于点，若，，请直接写出，与之间的数量关系．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
，
当，时，原式．
18.【答案】内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 对顶角相等
19.【答案】，为，
，
为，
，

20.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌．
21.【答案】；
；
．
22.【答案】
完成绿化共需要元．

23.【答案】
24.【答案】；
，理由见解析过程；
，理由见解析过程．
25.【答案】在与中，
，
≌，
如图，延长至点，使得，连接，
，
为中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，即，
在与中，
，
≌，
，，
，
由得，≌，
，
，
，
，，
，即，，即，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，

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