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2025-2026学年北京中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. D. ，，
3.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列曲线中，表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
5.如图，施工队打算测量，两地之间的距离，但，两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接，，测量，的中点之间的距离是，则两地之间距离为( )
A. B.
C. D.
6.如图，是矩形的对角线的中点若，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.下列说法中正确的是( )
A. 有两个角为直角的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8.几千年来，人们给出了勾股定理多种多样、绚丽多彩的证明下面是我国张景中院士给出的证明：如图，，，于，于，设，，，可得，即，故对上述图形，连接，设，则给出下列三个结论，
；
；
．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.如图，点所表示的数是，，，以原点为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则数轴上点表示的实数是 ．
10.如图，在 中，，，作于，则 ．
11. 对角线相交于点，要使得 为矩形，则可添加的一个条件为 ．
12.如图，在梯形中，，，，，，则与之间的距离为 ．
13.已知平行四边形，周长为，相邻的边长分别为，，写出关于的函数解析式为______，其中自变量的取值范围是______．
14.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”若，则图中阴影部分的面积为 ．
15.天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图如图所示，已知于点，与水平线相交于点，若，，，则点到水平线的距离为 ．
三、解答题
16.某学校有块荒地公顷，为进行劳动教育，学校委托学生生物兴趣小组规划实施种植生物小组经过调研，计划种黄瓜和西红柿根据土质、水利条件，这些土地可分为三类如表所示：一类地公顷，二类地公顷，三类地公顷，要求黄瓜的产量至少千克，西红柿产量不限．
土地每公顷产量作物 一类土地 二类土地 三类土地
黄瓜
西红柿
若三类土地都种黄瓜，那么黄瓜的产量为 ；
若要使得西红柿的产量最多，则在第二类土地中种植西红柿的面积为 公顷．
17.计算：．
18.已知：，求代数式的值．
19.下面是小郭设计的“利用平行四边形作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形，使点在上，点在上．
作法：以点为圆心，长为半径画弧交于点；
作的角平分线，交于点；
连接．
则四边形即为所求的菱形．
根据小郭设计的尺规作图作法，补全图形；
完成下面的证明过程．
证明：平分，
．
在 中，，
．
．
______．
又，
______．
四边形是平行四边形______
又，
是菱形______
20.如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙米，若梯子顶端下滑米至点，那么梯子底端将向左滑动多少米．
21.已知刘伟家、体育场、文具店在同一条直线上下面的图象反映的过程是：刘伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步回家图中表示时间，表示刘伟离家的距离根据图象回答下列问题：
体育场离刘伟家______，刘伟从家到体育场用了______；
体育场离文具店______；
刘伟在文具店停留了______；
刘伟从文具店回家的平均速度是______．
22.矩形的对角线交点为，过作分别交、于、．
求证：四边形是菱形．
若，，求四边形的面积．
23.小明根据学习函数的经验，对函数进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程．
函数的自变量的取值范围是______；
下表是与的几组对应值：
写出表中的值；
如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
小明结合该函数图象，解决了以下问题：对于图象上两点，，若，则______填“”，“”或“”．
24.如图，正方形，点为边上一点，射线交直线于点，过点作的垂线，交直线于点．
如图，证明：；
作点关于直线的对称点，直线与直线交于点，在图中补充完整图形，判断，，的数量关系并说明理由．
25.给定一个矩形，在此平面内若有一个点，满足点到直线和的距离之和等于它到直线和的距离之和，就称点为矩形的“和谐等距点”．
如图矩形，点，，，．
下列三个点中，是矩形的“和谐等距点”是______；
，，．
点，，若线段上存在矩形的“和谐等距点”，则的取值范围是______；
若以为中心的任意矩形，线段上始终有无数个点是矩形的“和谐等距点”，则矩形的相邻两边的边长与应满足的条件是______．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】，．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】．
18.【答案】解：当时，
．
19.【答案】见解答 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形有一组邻边相等的平行四边形是菱形
20.【答案】米．
21.【答案】
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
≌，
，
四边形平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形的面积
23.【答案】一切实数 表中的值为
24.【答案】证明：过点作于，
四边形为正方形，
四边形为矩形，
，
又，
，，
．
又，
≌，
补全图形如图：
结论：、、的数量关系：．
证明：以、为邻边作矩形，截取，连接，．
、关于直线对称，
，．
由得，．
又矩形，
，，
，，
，
．
又，，
即．
，
，
又，
，
，即．
，
≌，
．
在矩形中，，
．
又，

25.【答案】和
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