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答案和解析
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】AC
10．【答案】ABD
11．【答案】BD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】解：（1），
；
（2），
；
（3），
．
【解析】本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
（1）利用商的导数运算公式求解即可．
（2）利用和与积的导数运算公式和复合函数的运算公式求解即可．
（3）利用和的导数运算公式求解即可．
16．【答案】解：（1），
因为是函数的一个极值点．
所以，即，解得，
所以，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可得是函数的一个极值点，满足题意，
所以的单调递增区间为，．
（2）结合（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表：
0 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，函数的最小值为-1．
【解析】本题考查利用导数根据极值点求参，利用导数求函数的单调区间、最值，属于中档题．
（1）根据极值点求出的值，求导，利用导数大于0，可得函数的单调递增区间；
（2）确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．
17．【答案】解：（Ⅰ）函数，，
则，
设，则
由可知，在上单调递增，且，
故当时，，
当时，，
故函数有极小值，无极大值；
（Ⅱ）证明：依题意对，，
即，
设，则，
设，
因为，所以在上单调递增，
又因为，，
所以在内有唯一零点，记为，
即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，．
设，，
则，所以，
所以，即，．
【解析】本题考查了利用导数求已知函数的极值和利用导数证明不等式，属于中档题．
（Ⅰ）直接求导，利用导数研究单调性可得极值；
（Ⅱ）依题意对，，即，设，利用导数研究其单调性和最值，即可得证．
18．【答案】解：（1）因为，
所以，
因此，
则，，，
可得在两边异号，即是函数的一个极值点，
故．
（2）由（1）知，，，
当时，，
当时，，
所以的单调增区间是，，的单调减区间是；
（3）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，，
所以的极大值为，极小值为．
因为，，
所以要使直线与函数的图象有3个交点，
则在的三个单调区间，，内，直线与的图象各有一个交点，
当且仅当，
因此，的取值范围为．
【解析】本题考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数图象交点个数问题，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．
（1）先求导，再由求解；
（2）由（1）确定，，再由和求得单调区间；
（3）由（2）可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有3个交点则须有，即可得结果．
19．【答案】解：（1），
当时，，在递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在单调递增，在单调递减；
（2）在恒成立，
在恒成立，
设，
则，
设，则，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一，使得，
故当时，，当时，，
故当时，，当时，，
故函数在递增，在递减，在递增，
故，
由得，且，
故，
，，，
，
当时，，
故，解得：，
故的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为在恒成立，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
2高一期中模拟数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分．
1．设是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知函数，导函数为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A．-1或1 B．-1或3 C．-1 D．3
4．已知函数在处取得极大值，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或-2
5．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
6．若函数有最大值-4，则实数的值是（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
7．已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8．已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列判断正确的是（ ）
A．的单调减区间是，
B．的定义域是
C．的值域是
D．与有一个公共点，则或
11．已知函数，若实数，满足不等式，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的导函数__________．
13．函数在上的最小值为__________．
14．设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题12分）
求下列函数的导数：
（1）
（2）；
（3）
16．（本小题12分）
已知函数，是函数的一个极值点．
（1）求函数的增区间；
（2）当时，求函数的最小值．
17．（本小题12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）证明：，．
18．（本小题12分）
已知是函数的一个极值点．
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若直线与函数的图象有3个交点，求实数的取值范围．
19．（本小题12分）
函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
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