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高二数学试题
注意事项：
1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设复数 其共轭复数为2，则
A. B. C. 2 D.
2. 已知a、b∈R, 则“a>b>2”是“a-2>|b-2|”的 ( ) 条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P 沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP 与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为S ，S .当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中， 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D. 先 再 最后
4.我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f(x)=f'(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数 的“躺平点”分别为a，b，c, 则a, b, c的大小关系为( )
A. a5.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为 。是{Sn}中的唯一最大项，则d的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线 分别为左、右焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l与C在第一象限的交点为P，∠PF F 的平分线与线段PF 交于点Q.若 则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7.设随机变量X的分布列为 且 则( )
A.数列{an}是等比数列 B.
C.数列 前7项之和为 D.
8.已知函数f(x)=sinx，将f(x)图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π/12个单位长度，得到函数g(x)的图象.若 总存在唯一实数β∈[0，m]，使得g(α)+g(β)=0,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列选项中说法正确的是 ( )
A. 函数. 的单调减区间为(-∞，1)
B.幂函数 过点 则
C. 函数y=f(x)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x)的定义域为
D.若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
10.如图，在直三棱柱 中， ,E、F分别为BB ,A C 的中点,过点A,E,F作三棱柱的截面α，则下列结论中正确的是 ( )
A. BC ∥α
B. 三棱柱ABC-A B C 外接球的半径为
C. 若α交B C 于M, 则M为B C 中点
D. α将三棱柱ABC-A B C 分成两部分，体积较大部分的体积为
11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为 时).在欧洲，这个表被认为是帕斯卡(1623-1662)首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有 ( )
A. 第2026行共有2026个数
B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为(C
C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D. 去除所有为1的项, 依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…, 则此数列前135项的和为2 -53
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若直线y= kx(k≠0)与曲线. 相切，则切点的横坐标为 .
13. 若 则 tanα= .
14.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有 种·
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差.
(1)求P(X=5);
(2)求随机变量X的分布列和数学期望.
16. (15分) 在△ABC中, 角A,B, C所对的边分别为a,b, c,
(1)求角A;
(2)D为△ABC外一点，且与点B位于直线AC的同侧， 若 求△ABD的面积.
17.(15分)在斜三棱柱 中， 为菱形， D为AB中点.
(1)证明: AC ∥平面CDB ;
(2)线段 上是否存在一点M，使二面角.M-AD-C为 ，若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.
18.(17分) 已知抛物线C 与双曲线 的渐近线在第一、四象限的交点分别为M, N, 且|
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与抛物线C交于 )两点，O为坐标原点，F为C的焦点.
(i) 若|AB|=3, 且AB的中点为Q,求Q到y轴距离的最小值;
(ii) 若已知直线l:y= nx-1(n∈N°),且 设数列 的前n项和为 证明：
19. (17分)已知函数
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:
(3)设g(x)= lnx+sinx, 若存在 使得 证明：
高二数学参考答案
1. A 【详解】复数 其共轭复数 故选：A
2. A 【详解】当a>b>2时, a-2>b-2>0, 即a-2>|b-2|, 所以, 若a-2>|b-2|, 不妨取b=1, a=5, 则a>b>2不成立, 所以, 所以, “a>b>2”是“a>b>2” ”的充分不必要条件.故选：A.
3. A 【详解】解：因为直线l与圆O相切于点A，所以OA⊥AP，所以扇形AOQ的面积 的面积 又 所以 所以即 ,故选: A.
4. A 【详解】 则 即 则 设 则 所以m(x)在(0,+∞)单调递增,又 所以存在b∈(1,e),使得m(b)=0, 即 则( , 即c=1, 综上所述, b>c>a,故选: A.
5. A 【详解】因为S 是{S}中的唯一最大项, 所以a >0且a <0, 即( 且 又 解得 即d的取值范围为
6. C 【详解】因为直线l的 由角平分线性质定理可知 所以 由双曲线的定义可知 所以 在△PF F 中由余弦定理可得 即 整理得 两边同除以a 可得 解得 或 (舍去).故选: C
7. D 【详解】因为 则当k≥2时,
代入得 化简得 由递推式： 即 由分布列概率总和为1可得： 即 选项A，因为 所以 所以数列{an}不是等比数列，A错误；选项B， B错误；选项C，因为 所以前7项和为：
C错误；选项D，期望 D正确.
8. B【详解】将f(x)图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π/12个单位长度，可得： 当 可得 则 因为存在唯一实数β∈[0，m]，使得 即 是g(β)的子集，且β唯一，由 图像可知，
所以实数m的取值范围为 故选：B
9. BCD 【详解】对A,函数 解得x<0或x>2 因为复合函数同增异减，外层 是增函数，内层 减区间为(-∞，1)，结合定义域得f(x)的单调减区间为(-∞，0)，不是(-∞，1)，因此A错误；对B，根据幂函数定义，形如 的函数是幂函数，因此系数m=1，
因为函数过 所以 解得 因此 B正确;对C,因为y=f(x)的定义域为[1,2],所以对y=f(2x),满足1≤2x≤2,解得 即y=f(2x)的定义域为 C正确；对 D，因为 值域为R，所以 需能取到所有正实数，当α=0时，真数为5x+4，是一次函数，可取所有正实数，符合条件；
当a≠0时，真数为二次函数，需满足开口向上a>0，且判别式Δ=25-16a≥0，解得 综上a的取值范围是 D正确.
10. BD 【详解】以C为原点,分别以CA,CB,CC 所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系，
则C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), C (0,0,2), A(2,0,2), B (0,2,2), 所以E(0,2,1), F(1,0,2),对于选项A: 设平面α的法向量为n=(x,y,z),则由 即 令x=4, 则y=3,z=2, 所以n=(4,3,2)是平面α的一个法向量.因为 ，故 BC 不平行于平面α，A错误；
对于选项B：直三棱柱 中AC⊥BC, AC-BC=CC =2,
可补为棱长为2的正方体，设外接球的半径为R，则外接球直径等于正方体体对角线，即 解得 B正确；对于选项C：若M为B 中点，则坐标为(0,1,2),
且A,E,F,M四点共面, 则 即
(-2,1,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,1), 所以方程组无解，所以M不是B C 中点，C错误；
对于选项D: 设α与B C 交点M(0,a,2), 则 由 得
(-2,a,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,1), 所以 解彳 即
三棱柱总体积 体积较小部分可分割为四棱锥.A-A B MF 和三棱锥A-B ME ,
对四棱锥.A-A B MF,顶点A(2,0,0),底面四边形顶点A (2,0,2),B (0,2,2),M(0, ,2),F(1,0,2),
底面四边形面积 高为A到平面A B C 的距离2,所以 对三棱锥A-B ME , 顶点A(2,0,0), 底面顶点
B (0,2,2),M(0, ,2),B(0,2,1),
底面三角形面积 高为A到平面BCC B 的距离2，所以 所以体积较小部分的体积为 所以体积较大部分的体积为 D正确.
11. BCD 【详解】对于A,第2026行共有2027个数, 故A错误,对于B,由题意可得C 4 1,B正确，对于 C，第48行的所有数字之和为
由于 能被7 整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确，
对于D，第n行的和为 当n≥1时，第2行中去除为1的项的和为2"-2，第0行为1，故前n行中去除为1的项的积为 故前17行中去除为1的项的和为 ，去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0, 1, 2, 3. 4,……,
可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前n行共有 个数, 当n=17时,
因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为C16,
则此数列前135项的和为
【详解】设切点为(m,km), 由. 得 则 解得 故答案为：
【详解】由 得 即 ∴cosα≠0,则2sinα(2-sinα)=1-2sin α,解得 则
14.210 【详解】由题意可知三年修完5门学科，则每位同学每年所修课程数为3，2，0或3，1，1或1，2，2，1.将5门学科分成数量为3，2，0的三组共有C C 和不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有( 种；
2.将5门学科分成数量为3，1，1的三组共有 种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有 种；3.将5门学科分成数量为1，2，2的三组共有 种不同方式，再将这三组课程分配到三个学年，共有A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有 种.
所以每位同学的不同选修方式有60+60+90=210种.
15. (1) (2)分布列见解析，
【详解】(1)当X=5时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5，可得
(2) 随机变量X的取值分别为2, 3, 4, 5, 有
随机变量X的分布列为：
A' 2 3 4 5
P
则
【详解】(1) 解: 因为 所以
sinC'sinA-sinAcosC=2sinC-sinB, sinCsinA-sinAcosC=2sinC-sin(A+C), sin C'sinA-sinAcosC=2sinC-sinAcosC-cosAsinC,因为C∈(0,π), 所以sinC>0,所以 即 又 则有 所以
(2)解:因为 所以在△ACD中, 所以 即 因为在△ACD中, 所以 因为 所以 所以
所以
17.(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.
【详解】(1) 法一: 如图, 连接A C, 交AC 于F, 取B C中点E, 连接EF, ED.∵E,F为中点, ∴EF∥A B 且
又∵ 且 且EF=AD,所以四边形EFAD为平行四边形,∴FA∥ED,AC ∥ED, ∵ED 平面CDB , AC α平面CDB , ∴AC ∥平面CDB .
法二:如图,连接BC ,交B C于E,连接ED.∵D,B分别为AB,BC 中点, 平面CDB , AC α平面CDB , ∴AC ∥平面CDB .
(2) ∵四边形 为菱形， 又∴ 为等边三角形，∵D为AB中点, ,又∵A D⊥BC,BC∩AB=B, BC, AB 平面ABC, ∴A D⊥平面ABC, 又∵AC⊥A A, AA ∩A D=A , AA , AD 平面A B BA, ∴AC⊥平面ABB A ,如图，以D为原点，在平面ABC内过点D作AC的平行线为x轴，DB所在直线为y轴，DA 所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
得A (0,0,2 ),B(0,2,0),B (0,4,2 ),A(0,-2,0),C(4,-2,0),C (4,0,2),∴A C =(4,0,0). 设
设平面MAD法向量 且 令 解得 而设平面ADC法向量
则 由题意得二面角M-AD-C为30°，得到 化
简得 故不存在点M 满足二面角M-AD-C等于30°.
(ii)证明见解析
【详解】(1)双曲线 中， 渐近线方程为 联立渐近线与抛物线 将 代入抛物线得对应交点为 则| 解得p=2，故抛物线C的方程为y =4x
(2) (i) 设直线l:x= my+t, 联立 得 则. 弦长| 故 AB中点Q到y轴距离为 代入 得
令 则 根据对勾函数图象和性质可知函数在[1，+∞)上函数. 单调递增，最小值为 故Q到y轴距离的最小值为
(ii) 因为 所以
当n≥2时,
所以
即 当n=1时, 即 成立.
19.(1)单调递增区间为 单调递减区间为 和
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】(1)由 得 令f'(x)>0, 解得 令f'(x)<0,解得 或 故f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 和
(2)证明:设 则 因为0< cosx<1, 则 cosx-1<0, cosx(cosx-1)<0, 所以( 所以h'(x)>0,所以h(x)在 上单调递增，又h(0)=0，所以当 时, h(x)>0, 所以当 时, sinx+tanx>2x, 所以 即f(x) 2x+ sinx.
(3)证明: 由 得 则
即
由(2) 知,h(x)= sinx+ tanx-2x在 上单调递增，所以 即 所以 所以 设 则 所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增, 则 x>1,φ(x)>φ(1)=0,即 又 所以 即 又 所以 所以

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