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专项：方程与不等式-2026年中考数学押题专项
一、单选题
1．若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
2．芯片的双重曝光工艺中，3个工艺参数a，b，c共同满足固定生产目标k，且：，则a，b，c的最简整数比是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何．”其大意为：有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为，而甲把自己三分之二的钱给乙，则乙的钱数也能为．设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知m，n是方程的两个实数根，则（ ）
A．1 B．10 C． D．
7．近年来，某市积极推进无人机等低空装备警务化应用，广泛运用于案件侦查、治安巡逻、活动安保等领域，成效显著．从幸福门出发经环海路到火炬八街，警车治安巡逻需行驶约25公里，无人机空中巡逻航线约20公里，且无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟．若该无人机的平均速度是警车平均速度的2倍，则无人机的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
8．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________．
12．值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放________摞．
13．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________．
14．已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________．
15．新定义：对于任意实数x，其整数部分记为，且表示不超过x的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．若，，，则_______．
16．定义：若一个三位数的百位数字与十位数字之和等于个位数字，即，则称它为“和尾数”．例如235中，，所以235是“和尾数”．
（1）若是“和尾数”，则________；
（2）若“和尾数”的数字均不为0，且这个三位数能被9整除，则满足条件的最大三位数是________．
三、解答题
17．解方程或不等式组：
(1)；
(2)．
18．解分式方程
(1)；
(2) ．
19．解方程组
(1)
(2)
20．按要求完成下列各题：
(1)解不等式组；
(2)阅读材料：
王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的：
解：由①，得，
把③代入②，得，解得，
把代入③，得，解得．
原方程组的解为．
这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．
请用此方法解方程组：．
21．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元．
甲 乙
进价（元/个）
售价（元/个）
(1)求的值；
(2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价）
22．已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题：
(1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？
(2)根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？
23．如图1，在平面直角坐标系中，，且，过两点分别作轴，轴的垂线交于点．
(1)求点的坐标；
(2)为两动点，同时出发，从点出发以1个单位长度每秒的速度沿着向点运动，从出发，在线段上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，当到达点时，同时停止运动．设运动时间为秒，当点在线段上运动时，取何值，三点构成的三角形面积为1？
(3)如图2，连接，点在线段上，且满足，点在轴负轴上，连接交轴于点，记三点构成的三角形面积为，记三点构成的三角形面积为，若，求点的坐标．
24．小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中材料：
一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出：
如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为，．反过来，如果一元二次方程的两个根为，，那么，即．由此可得．因此，．
小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程：
【初步感知】
(1)已知一元三次方程的三个根为1，3，4，
计算可得：
①三个根的和；
②每两个根的乘积之和；
③三个根的积．
观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空：
一般地，若一元三次方程的三个根为，，，_______，_______，=_______．（用含a，b，c，d的代数式表示）
(2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论；
(3)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根之间的差相等，求实数a的最大值．
25．阅读下列材料，完成探究任务：
【材料一】
光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【材料二】汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图2，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作成长方形），以及两侧后视镜的可见区域．我们把图2中的右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图3，用线段表右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，驾驶员在车内点O处，直线，点G为线段DF上任意一点，司机观察右侧后视镜的视角的度数不大于，为入射光线，为反射光线，右侧后视镜与形成的夹角，我们把称为司机观察车右侧的“视野角”，当点G与点F重合时，“视野角”的度数最大．
【材料三】如图4，一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米．
【问题解决】
(1)在图3中作出法线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求出图3中“视野角”的最大值．
(3)如图4，已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车的行驶速度每秒不得超过多少米？
《专项：方程与不等式-2026年中考数学押题专项》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A A A A D B
1．C
【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况．
【详解】关于的一元二次方程 ，
可得，
，即，
，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根．
2．D
【分析】将连等式拆为三个方程，用分别表示，，，再消去计算化简得到比值．
【详解】解：由题意将连等式拆得方程组：
由(1)得，代入(2)得：，整理得
将代入(3)得：
展开整理得，
即
将代入，得
将代入，得
因此 ．
3．B
【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程．
【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿，
∴竹子总数量为，
∵每人分七竿竹子时少五竿，
∴竹子总数量也可表示为，
∵竹子总数量固定不变，
∴可列方程为．
4．D
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围．
【详解】解：，
方程两边同乘（）去分母得，，
展开整理得，，
解得，
∵方程的解为正数，且分式分母不为0，
∴ ，
解第一个不等式得 ，即，
解第二个不等式得 ，即，
∴的取值范围是且．
5．A
【分析】根据题意列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意列二元一次方程组，甲得到乙一半的钱后总数为，即①；
乙得到甲三分之二的钱后总数为，即②，
故联立①②可得．
6．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义求得，根据根与系数的关系求得，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
∴．
7．A
【分析】先统一时间单位，再设未知数，根据两种巡逻方式的时间差列方程求解即可.
【详解】先统一单位，分钟小时.
设警车平均速度为，则无人机平均速度为.
时间路程速度，且无人机完成巡逻的时间比警车少小时，
列方程得：
化简得，
解得.
经检验，是原方程的解，符合实际意义.
无人机平均速度为．
8．A
【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：∵ 运算规则为，方程为，
∴ 将，代入运算规则得 ，
展开并整理得，
∴
∵
∴该方程有两个不相等的实数根．
9．D
【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围.
【详解】解：∵ ，，
∴ ，
整理得 ，
∵该一元二次方程有实数根，
∴ ，
解得 .
10．B
【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程．
【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米，
则圆的半径为米，
可种植绿植的面积恰好为平方米，
．
11．，
【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项合并同类项，得
解得
方程的解是负整数，是整数
是的负因数，即或
当时，
解得，符合题意
当时，
解得，符合题意
故满足条件的所有的值为，．
12．3
【分析】设单个杯子自身高度为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据题意列得二元一次方程组，求得单个杯子自身高度为，每多叠一个杯子增加的高度为，再根据题意得，求得一摞最多放19个杯子，据此求解即可．
【详解】解：设单个杯子自身高度为，每多叠一个杯子增加的高度为，
根据题意得，解得，
即单个杯子自身高度为，每多叠一个杯子增加的高度为，
个杯子的总高度为，
根据题意得，
解得，
∵为正整数，
∴一摞最多放19个杯子，
单摞高度，
∴，
∴余下的12个杯子还需要一摞，
∴总摞数为．
13．
【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到结果．
【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为，
根据题意得：，
解得：，，
因为增长率不能为负数，所以舍去，
即平均每月销售额增长的百分率为．
14．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值．
【详解】解：点，是反比例函数图象上的点，
，，
变形得，，
将上述结果代入得，
，
，
解得，
经检验符合题意．
15．1
【分析】根据新定义先确定的取值范围，再结合已知条件和确定的取值范围，最后根据新定义化简所求式子，计算得到结果．
【详解】解：，
∴，
，且，
，且，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16． 5 819
【分析】（1）根据“和尾数”的定义列一元一次方程求解即可；
（2）先根据“和尾数”的定义得到，再结合能被整除的数的特征得到是的倍数，结合的取值范围确定的值，再根据三位数最大的要求，结合数字不为确定和的值．
【详解】解：（1）是“和尾数”，
∴，
解得；
（2）由题意得，，，，且均为整数，
是“和尾数”，
，
这个三位数能被整除，
是的倍数，
∵，
各数位数字和是的倍数，
将代入得 ，即是的倍数，
，且是整数，
，
则，
要使三位数最大，需百位最大，
，
，
即最大为，此时，
因此满足条件的最大三位数是．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】（1）解：方程为，
去分母可得，，
去括号、移项、合并同类项得，，
解得，；
（2）解：不等式组，
解不等式，解得，
解不等式 ，解得，
所以解集为：．
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
经检验，是原方程的解；
（2）解：，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接运用加减消元法求解即可；
（2）直接运用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，解得：，
把代入②得：，解得：．
所以该方程组的解为：．
（2）解：，
把①代入②得：，解得：，
把代入①得，
所以该方程组的解为：．
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为；
（2）解：，
由，整理得，
将①变形为，
把③代入④，得，解得，
把代入①，得，解得．
原方程组的解为．
21．(1)
(2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个
【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
（2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个．
解得
经检验，符合题意．
答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个．
22．(1)
甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元
(2)
共有3种进货方案，分别是：方案一：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；方案二：购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；方案三：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个
(3)
购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润为1450元
【分析】（1）根据售价关系和总售价，设未知数后列二元一次方程组求解即可；
（2）设甲款玩偶进货数量，根据总进价限制和甲款数量要求列不等式组，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案；
（3）先表示总利润和甲款进货数量的函数关系，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案．
【详解】（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元，
根据题意得：
解得
答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元；
（2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个，
根据题意得：
解得，
因为为正整数，
所以可取88，89，90，对应为112，111，110，
答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个；
（3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)，
则，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)，
此时乙款玩偶数量为(个)，
答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元．
23．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）非负性求出的值即可；
（2）由题意，点的运动路程为，点的运动路程为，进而求出，再根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可；
（3）根据，求出、的值，进而求出的坐标，再根据，求出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵过两点分别作轴，轴的垂线交于点，
点的坐标为；
（2）解：由（1）可知，，
∴，，，
由题意得：点在线段上运动且当到达点时同时停止运动．
可得运动时间满足：，
由题意得：点的运动路程为，点的运动路程为，
，
点的横坐标，点的横坐标，
，
又，
，
解得：或．
由题可知：或均在范围内．
综上所述，当或时，三点构成的三角形面积为1；
（3）解：如图，连接，
由，解得，
此时点为，
，
，
故，
，解得：，
∴，
∵点在轴负轴上，
∴点．
24．(1)；；
(2)证明：设三个根为，则．
展开右边可得：
．
比较系数可得：
；．
∴，，．
(3)3
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）设三个根为，则，然后右边进行展开，进而对比等式左右两边的系数即可求解；
（3）根据（2）可进行求解．
【详解】（1）解：根据题意可知：
一般地，若一元三次方程的三个根为，，，，，．
（2）略
（3）解：由题意可设三个根分别为，
由（2）可得：
．
∴，
代入可得：．
∵三个根为实数，
∴，
∴，
∴当时取等，即三根均为1时，差为0，仍满足“差相等”，
此时a的最大值为3．
25．(1)如下图，法线即为所求作；
(2)“视野角”的度数最大为
(3)摩托车的行驶速度每秒不得超过25米
【分析】（1）作平分线即为所求作；
（2）作，证明，求出及，进而求出结论；
（3）设摩托车的行驶速度为，根据保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区列不等式并解不等式即可解决．
【详解】（1）略
（2）解：作，
，长方形中，，
，
，
，
，
，
点为线段上任意一点，当点与点F重合时，，
，
，
为法线，
，
，
当点与点重合时，“视野角”的度数最大为；
（3）解：设摩托车的行驶速度为，由题意得：
，
解得：，
答：摩托车的行驶速度每秒不得超过25米．
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