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专项：数与式-2026年中考数学押题专项
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．0
2．规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（ ）
A． B． C． D．
3．2025年公安部交通管理局权威发布，2025年全国新能源汽车保有量达到4397万辆，用科学记数法表示“4397万”正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算结果为正有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点C，D，E在线段上，且．分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点，则点与的距离是（ ）
A． B． C． D．2
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
8．若，，则的结果是（ ）
A．1 B．100 C．200 D．2
9．如图，在菱形中，，过点A作于点E，将沿射线向右平移得到，使得点B的对应点与E重合，与交于点M，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，例如在中，设，则有，解得，故．类似的的结果为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
11．分解因式：_____．
12．的算术平方根是______；______；______．
13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________．
14．多项式除以多项式，则所得的商式是______．
15．对于实数a，b，定义新运算“※”，规定：，如，则的值为______．
16．已知，，是三边的长，则的值为________．
三、解答题
17．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
18．计算或解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
19．先化简再求值：，其中为整数且，选取一个适合的数代入求值．
20．王老师在讲乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．学生们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
，
因为，所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1，
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当______时，有最小值是______；
(2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______；
(3)已知，求的最值．
21．新定义：我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．阅读以上材料，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则 ， ；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值；
(3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值．
22．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行．
23．阅读下列材料，然后解答问题：
材料：将进行分母有理化，过程如下：
请利用上述方法解答下列问题：
(1)化简：___________；
(2)计算：___________；
(3)化简下列式子：．
24．【问题背景】
数学活动课上，老师带领同学们探究月历中的奥秘，将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究．
【探究一】
(1)第一小组的同学们设计了一个如图2的形框，若形框覆盖的五个数的和为96，求这五个数中最小的数．
【探究二】
(2)第二小组的同学们设计了如图3的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，求的值．
【探究三】
(3)第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；形框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值．
《专项：数与式-2026年中考数学押题专项》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B C B B A A C
1．C
【分析】先化简各选项中的数，再根据有理数大小比较规则，即可找出最小的数．
【详解】解：、，
，
最小的数是．
2．A
【分析】根据题意确定相反方向移动的记数规则，将两次移动的记数相加即可得到所求算式．
【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向，
∴向左移动记作负数，
∵两次移动分别为向右移动，向左移动，
∴向右移动记作，向左移动记作，列算式得．
3．C
【详解】解：万．
4．B
【分析】根据“大于0的有理数是正有理数”判断即可．
【详解】解：A、是负有理数，不符合要求；
B、，是大于的有理数，符合要求；
C、是开方开不尽的数，属于无理数，不符合要求；
D、，是负有理数，不符合要求．
5．C
【分析】先理解题意，补充图形，得结合等腰三角形的性质，得，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，如图所示：
依题意，
∴
依题意，，
∴，
∵
∴（等腰三角形的三线合一），
∴．
6．B
【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B选项，∵，该选项符合题意；
C选项，，该选项不符合题意；
D选项，，该选项不符合题意．
7．B
【详解】解：．
8．A
【分析】根据已知条件，利用指数幂的运算法则，建立和的关系式，再对所求式子通分后代入关系式即可求值，即可求解．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．A
【分析】在得，再结合平移的性质和菱形的性质即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
由平移的性质可知，，，
∴，
由菱形的性质可知，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
10．C
【详解】设，
∵，
，
解得.
11．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【详解】解：．
12．
【详解】解：因为，且 ，
所以的算术平方根是，
因为 ，
所以，
因为，可得，
所以．
13．
【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简．
【详解】解：根据数轴可知，，，
则，，，
14．
【分析】将被除式变形整理为与商式乘积的形式，即可求解．
【详解】解：
．
15．
【分析】根据新运算的规则，按照规定代入数值计算即可．
【详解】解：，
∴．
16．
【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：∵a，b，c分别是的三边，
∴，
∴
．
17．(1)①，④，⑦，⑨
(2)②，③，⑥
(3)①，③，⑤
【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可．
【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
18．(1)0
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
，
，
解得：；
（4）解：
，
解得：．
19．，当时，原式
【分析】先利用通分和因式分解化简分式，然后根据分母不为筛选可取整数，再代入计算．
【详解】解：
，
为整数且，则或或，
若，原式的分母为，不可取，
若，原式中的除式为，不可取，
故，．
20．(1)；
(2)大；19
(3)最小值为
【分析】（1）仿照题干提供的方法进行解答即可；
（2）仿照题干提供的方法进行解答即可；
（3）把等式变形为，仿照题干提供的方法进行解答即可．
【详解】（1）解：，
因为，所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是，
（2）解：，
因为，所以当时，的值最大，最大值是0．
所以．
所以当时，的值最大，最大值是，
（3）解：因为，
所以，
因为，所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是．
21．(1)，（顺序可互换）
(2)
(3)
【分析】（1）令两数之和等于，两数之积等于15即可；
（2）根据定义得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形计算所求代数式；
（3）先将原方程变形凑出十字分式方程的形式，得到，的表达式，代入所求式子约分化简得到结果．
【详解】（1）解：为“十字分式方程”，可化为，
，．（顺序可互换）
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，，
；
（3）解：，
，
，
，且，
，
，，
，，
．
22．(1)
(2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为，
∴它的长为 ，
∵原长方形的长为、宽为，
∴，
即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边，
∴小牛的想法不可行．
【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积．
（2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行．
【详解】（1）解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为．
∵，：
∴，
．
∴长方形的面积为 ．
（2）略
23．(1)
(2)
(3)
【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可；
（2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可；
（3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
24．(1)14
(2)43
(3)14或21
【分析】（1）设这五个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得这五个数表示，得，解答即可；
（2）根据题意，得，，，，分别代入，化简求解即可．
（3）先用a,b分别表示其余的个各数，求得m，n，建立等式，根据整数的性质，分类求解即可．
【详解】（1）解：设这五个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得这五个数表示如图所示，
故，
整理，得，
解得
故这五个数中最小的数为14．
（2）解：设形框覆盖的五个数从小到大依次为，如图所示，
根据题意，得，，，，
．
（3）解：根据题意，各数的表示如图所示，
十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；
故，
形框的中心数为，覆盖的七个数的和为，
故，
，
，
，
根据题意，，
故，
是正整数，
故是5的倍数，
，或，或，
，或，或，
根据题意，，
故，
故或．
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