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专项：二次函数-2026年中考数学押题专项
一、单选题
1．已知抛物线（为常数），当时，随的增大而减小，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小
4．抛物线，当时，的最大值与最小值的差为5，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．的值为 D．当时，
5．，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，点，分别从点、点出发沿矩形的边运动，点以的速度按运动，点以的速度向点处运动．同时出发，当点，相遇时停止运动．设运动的时间为x（s），的面积为（），关于的函数图象如图2所示，当时，图象的高点为．下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．的坐标为 D．点在该函数图象上
7．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（ ）
A．x1=-，x2= B．x1=，x2=
C．x1=2-，x2= D．x1=，x2=
8．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
二、填空题
9．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______．
10．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______．
11．四张完全相同的卡片上分别写有函数从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随的增大而增大的概率是_____．
12．二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）．
13．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______．
14．令，其中为整数，为常数且．
（1）若时，是关于的反比例函数，则________．
（2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号）
①若是关于的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
②若是关于的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限．
③若是关于的二次函数，则其与一次函数的图象一定有两个不同的交点．
15．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）．
三、解答题
16．综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，D为线段上的动点，连接．
①当点D的纵坐标比横坐标的大7时，求的面积．
②若点D的横坐标为，E是直线上一点，且，请直接写出点E的坐标．
17．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）．
(1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）；
(2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
18．某企业准备对A，B两个产品进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：
信息一：如果单独投资A种产品，一年后收益（万元）与投资金额（万元）之间存在正比例函数关系：；
信息二：如果单独投资B种产品，一年后收益（万元）与投资金额（万元）之间存在二次函数关系：．
(1)若对A，B两个产品投入相同的资金万元，一年后两者获得的收益相等，则的值是多少？
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请你设计一个一年后能获得最大收益的投资方案，并求出按此方案能获得的最大收益是多少．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该抛物线的对称轴上有一点，是否在该抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形．如果存在，求出所有符合条件的点的坐标．如果不存在，请说明理由．
20．综合与实践
问题情境：
数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）．
观察测量：
同学们经测量发现该容器口是一个以点为圆心，直径为的圆，容器最大深度，且通过观察可将该容器内壁曲线近似看作抛物线的一部分，是该抛物线的顶点且在线段上．
数学建模：
(1)在图1中以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．
①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式；
②当液面离杯口的距离为时，求的长度．
(2)将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当所在的直线与水平桌面之间的夹角为时停止，此时将筷子从点处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系）
21．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离．
(3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为．
①求关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围．
《专项：二次函数-2026年中考数学押题专项》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D A C D D
1．D
【分析】先根据二次函数解析式求对称轴，再结合函数增减性得到m的取值范围，最后判断顶点横纵坐标的符号，确定顶点所在象限．
【详解】解：∵抛物线中，
∴抛物线开口向上，
由对称轴公式得抛物线对称轴为，
∵当时，随的增大而减小，又当时，随的增大而减小，
∴，即顶点的横坐标为正，
，
∵，
∴，
∴，即顶点纵坐标为负，
∴顶点在第四象限．
2．D
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离．
【详解】解：为，
点的坐标为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，可得：，
解得：，（舍去），
所以实心球掷出的水平距离为米．
3．C
【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ．
【详解】解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
故A，B选项错误；
令，则，
解得，
∴，
∴，
故C选项正确；
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大；
故D选项错误．
4．D
【分析】根据抛物线顶点式的性质，先判断开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定y的最大值和最小值的位置，结合二者差为求出的值，再逐一判断选项即可．
【详解】解：抛物线解析式为，且，
抛物线开口向上，故A选项错误；
抛物线对称轴为直线，
开口向上时，仅当时，随的增大而增大，故B选项错误；
，开口向上，
时，取得最小值，
分别计算端点的函数值：
当时，；
当时，；
，
，
∴，
由题意，最大值与最小值的差为，
，解得，故C选项错误；
当时，代入解析式得，故D选项正确．
5．A
【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小.
【详解】解：抛物线中，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且，
∴.
6．C
【分析】根据点在线段上，点在线段上和点在线段上分三种情况分别算的面积，再结合图的函数图像求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
当点在线段上时，，
此时，随的增大而减小，
当时，，
根据图2可知，，
∴，B选项正确；
当点在线段上时，，
此时，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点与点的纵坐标相等，
∴点的坐标为，C选项错误；
由图2可知，当点与点重合时，，
∴，A选项正确；
当点在线段上时，，
∵，
∴当时，，
∴点在该函数图象上，选项正确．
7．D
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解．
【详解】点在二次函数的图象上，
，二次函数解析式为，
，纵坐标相等，
二次函数的对称轴为直线，
方程变形得，即求二次函数时的值，
点在二次函数图象上，
是方程的一个解，
设方程的另一个解为，由对称性得，
解得，
方程的解为，．
8．D
【分析】先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定的正负，可判①，根据抛物线对称轴为直线，则，即可判②；先确定点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与轴的另一个交点的横坐标，即可判定③；运用函数确定方程的根的情况，即可判定④．
【详解】解：①抛物线开口向下，故，
对称轴在轴右侧，故，
抛物线与轴交于正半轴，故，
，
故①错误，不符合题意；
②因为抛物线对称轴是直线，则，
故②正确；
③因为抛物线对称轴是直线，
所以抛物线与轴的另一个交点是，故③正确，符合题意；
④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，
故④正确，符合题意．
综上，正确的是②③④．
9．或
【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：设，，
令，得
，
由根与系数的关系得，，
，
∵，
∴，
两边平方得，
整理得，
因式分解得，
解得或．
10．
【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案．
【详解】解：设为，则，
则窗户的面积
当时，取得最大值为．
11．
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质，找出符合“图象在第一象限内随的增大而增大”的结果个数，最后根据概率公式计算概率.
【详解】由题意可知，所有等可能的结果总数为.
逐一分析各函数的性质：
对于，它是正比例函数， ，在第一象限随的增大而增大，符合要求；
对于，它是反比例函数， ，第一象限内随的增大而减小，不符合要求；
对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，第一象限内随的增大而增大，符合要求；
对于，它是二次函数，开口向上，对称轴为直线，在第一象限内，当时随的增大而减小，不符合要求.
综上，符合要求的结果个数为，根据概率公式可得所求概率为.
12．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质，确定顶点式中各参数的取值范围，再选取符合条件的参数得到解析式．
【详解】解： 有最小值，
因此对于，可得，顶点纵坐标；
当 时 随增大而增大，开口向上的二次函数，对称轴右侧随增大而增大，
因此对称轴；
取，，得二次函数解析式为（答案不唯一）．
13．
【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可．
【详解】解：依题意得抛物线为：，
∵为“平衡点”，
∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
，
解得或，
，
．
14． ①②/②①
【分析】（1）根据反比例函数定义列方程求解即可；
（2）分别结合一次函数、二次函数的定义，利用函数性质和联立方程判断各结论是否成立．
【详解】解：（1）当时，，
∵是反比例函数，
∴，
解得；
（2）①若是关于的一次函数，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，，
∴函数恒过定点，该点在第二象限，
∴函数图象一定经过第二象限，故①正确；
②若是关于的二次函数，
∴，
∴，
当时，，
∴函数过点，
∴函数图象一定经过第二象限，故②正确；
③联立得，，
整理得：，
∴当时，，此时方程有两个相同的实数根
∴此时只有一个交点，故③错误．
综上所述，正确的结论是①②．
15．16
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度求出抛物线上一点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进而求出宽度．
【详解】设抛物线的解析式为，
由题意可知，碗口宽，碗深，且抛物线关于轴对称，
所以点的横坐标为 ，纵坐标为，即点的坐标为，
将点代入，得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
当满碗汤面的竖直高度下降时，汤面的高度为，
令，则，
∴，
解得，
此时碗中汤面的水平宽度为．
16．(1)
(2)①；②点E的坐标为或
【分析】（1）先求出的值，进而求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①设出D点坐标，根据点D的纵坐标比横坐标的大7，列出方程进行求解，再利用分割法求出三角形的面积即可；②如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H，证明，设点，进而求出点的坐标，代入函数解析式，进行求解即可.
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴，
∴当时，
∴．
∵，
∴将点A，B的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：①设点．
∵点D的纵坐标比横坐标的大7，
∴，解得，
∴点．
∵，，
∴，
∴．
②点E的坐标为或．
如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H．
∵点D的横坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴，点均为所求．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
设点，
∴，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，代入直线中得，
∴，
∴点E的坐标为或．
17．(1)；
(2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是
【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式；
（2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可．
【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为，
∵栅栏总长为，
∴，即，
其中，
由，可得，
∴与的函数解析式为；
由矩形的面积可知，；
（2）解：∵，
∴
当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围，
答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是．
18．(1)
(2)投资方案为对A产品投资12万元，对B产品投资3万元，最大收益为7.8万元
【分析】（1）根据A、B收益相等列出关于的一元二次方程，求解后结合得到的值；
（2）设B产品的投资额为万元，得到A产品的投资额，写出总收益关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最大收益，得到最优投资方案．
【详解】（1）解：由题意得，，即
整理得，
解得或
；
（2）解：设对B产品投资万元，则对A产品投资万元，总收益为万元，其中
则
整理得
，二次函数图象开口向下，
∴在顶点处取得最大值，而顶点横坐标，满足
将代入得最大收益（万元）
此时A产品投资额为（万元）
答：投资方案为对A产品投资12万元，对B产品投资3万元，按此方案获得的最大收益是7.8万元．
19．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设，然后根据平行四边形得到，则，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在，
对于抛物线，可得对称轴为直线，
设
∵点为顶点的四边形是以为边的平行四边形
∴，
∴
∴
解得或
∴或．
20．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，把代入，即可求解；②由题意求出点，的纵坐标，代入抛物线的解析式中，求出的值，即可得到的长度；
（2）以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为，与交于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，筷子被浸湿的长度为，利用解得．
【详解】（1）解：①建立的平面直角坐标系如图所示：
根据题意，得，垂直平分，，
，
，
抛物线的顶点，
设抛物线的表达式为．
把代入，得．解得，
抛物线的表达式为．
②，液面离杯口的距离为，
点，的纵坐标为，
把代入，得．解得，，
，，
．
（2）如图，以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为，与交于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，筷子被浸湿的长度为．
，，，，
，，
，
在中，，
，
答：浸湿筷子的长度为．
21．(1)；
(2)；
(3)①；
②或；
【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式；
（2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算；
（3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数；
②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果．
【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，
将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得，
抛物线解析式为．
（2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称，
，，
令，即，
，解得，，
，
设直线解析式为，代入点，
，
解得，
直线解析式为，
过点作于点，
， ，
，为等腰直角三角形：
，
点到直线距离为．
（3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴，
因此，且，
轴，交直线于点，可得，
线段长度为，
当时，点在轴上方，长度为，
，
当时，点在轴下方，长度为，
，
因此关于的函数解析式为：
②当时，
当时，
由，
得，
，
解得，，结合，得
；
由，
，
，
解得，为任意数，
两部分取公共部分：；
当时，
由得，
，
解得，或；
由，
，
；
取两者公共部分：，
综上，的取值范围是或．
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