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2025-2026学年河北省衡水市枣强中学高二（下）期末数学试卷（一）（6月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若随机变量X服从正态分布N（4，σ2），且P（X＜2）=0.1，则P（4＜X＜6）=（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
2.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（　　）
A. B. C. D.
4.现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 150 60
女 200 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为χ2，则（　　）
附：，n=a+b+c+d.
A. χ2＜2.706 B. 2.706＜χ2＜6.635
C. 6.635＜χ2＜10.828 D. χ2＞10.828
5.东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（　　）
A. B. C. D.
6.设，，，则（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. c＜b＜a
7.已知线性相关的两个变量x,y的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当x=6时的残差为（　　）
x 3 4 6 7
y 20 40 m 80
A. 5 B. -5 C. 4 D. -4
8.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件A=“甲体验儒家文化”，B=“乙体验湖光山色”，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若（2+x）4+（1+x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（　　）
A. a4=1 B. a0=17
C. a2＞3a3 D. a0-a1+a2-a3+a4=1
10.下列说法中正确的是（　　）
A. 若随机变量X，Y满足Y=2X-1，则D（Y）=4D（X）
B. 两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1
C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
D. 若事件M，N满足，，，则
11.对于n维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点（x1，y1），…，（xn，yn），设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若|r|＜0.75，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（　　）
附：，，，.
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 这组点的线性相关性弱
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的分布列如表，
X 0 1 2 3 4
P α
则E（X）= .
13.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量ξ，且ξ～N（μ，σ2），若，，则P（25≤ξ≤45）= .
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P5= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表.
课外阅读时间 视力健康情况 合计
视力正常 视力不良
≥1小时/天 35 60
＜1小时/天 10
合计 100
（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；
（2）补全2×2列联表，并判断依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？
附：.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
已知的展开式中，二项式系数之和等于1024.常数项为，
（1）求a的值；
（2）第k+1项的系数是第k项系数的6倍，求k的值.
17.(本小题15分)
随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节.某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布N（95，225），且P（95＜X＜120）=0.4，测试成绩为120分及以上的被认定为“卓越”等级.
（1）若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数）
（2）从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望.
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
18.(本小题17分)
函数f（x）=sin（ax2+cosx）.
（1）求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当，x∈[-1，1]时，
（ⅰ）求f（x）的值域；
（ⅱ）证明：.
19.(本小题17分)
某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为p（0＜p＜1），且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响.
（1）求甲在象棋比赛中积1分的概率；
（2）记甲在活动中总得分为2的概率为f（p），证明：p越大时，f（p）越大（0＜p＜1）；
（3）若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求P（B|A）.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】1050
课外阅读时间 视力健康情况 合计
视力正常 视力不良
≥1小时/天 35 25 60
＜1小时/天 30 10 40
合计 65 35 100
认为学生的视力健康与课外阅读时间无关
16.【答案】 k=5
17.【答案】22716
Y 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
期望为0.3
18.【答案】y-sin1=0 （ⅰ）；（ⅱ）证明：，x∈[-1，1]，
，偶函数，
，x∈[-1，1]，
，偶函数，
由奇偶性知只要证明x≥0时即可，
即证当x≥0时，，
当x∈[0，1]时，由（ⅰ），
考虑P（x）=xsin1-sinx，，
，
P（x）单调递增，此时P（x）≥P（1）=0，
于是P（g（x））=g（x）sin1-sin（g（x））≥0，即f（x）≤g（x）sin1，
因此只要证在x∈[0，1]时成立即可，
设，，
设H（x）=G′（x），则，
由（ⅰ）函数在[0，1]上单调递增，
所以H′（x）在[0，1]上单调递减，因此H′（x）≤H′（0）=0，
因此H（x）在[0，1]上单调递减，即G′（x）单调递减，又G′（x）≤G′（0）=0，
G（x）单调递减，G（x）≤G（0）=0，因此，
综上
19.【答案】 甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2，
由全概率公式，f（p）=P（N=2）=P（M=2）P（N=2|M=2）+P（M=1）P（N=2|M=1）
=，
因为二次函数在（0，1）上单调递增，
所以当p越大时，f（p）越大（0＜p＜1）
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