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2025-2026学年河北省衡水市第十四中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z满足（2+i）z=1+3i,则|z|=（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
2.设向量，则与夹角的余弦值为（　　）
A. 0 B. C. D. 1
3.已知数列{an}是等差数列，a2+a4+a6=5π，则=（　　）
A. B. C. D.
4.已知集合M={（x,y）|x2+（y-1）2=0}，N={0，1}，则M与N的关系是（　　）
A. M=N B. M N C. M N D. M∩N=
5.“a=0”是“直线l1：x+2ay-2026=0与直线l2：（a-1）x+ay+2026=0平行”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数为偶函数，则f（2a）=（　　）
A. B. C. D.
7.已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，若函数f：A→B满足：对任意x1，x2∈A，都有|f（x1）-f（x2）|≤1，则符合条件的函数共有（　　）个.
A. 5 B. 31 C. 35 D. 64
8.已知直线y=ax+b与函数的图象相切，若，则实数b的最小值为（　　）
A. B. C. D. 2ln2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，正确的是（　　）
A. 设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p,则P（-1＜ξ＜1）=1-2p
B. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点各不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，则
C. 在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.99的模型拟合的效果更好
D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
10.已知函数，则（　　）
A. f（x）为奇函数 B. f（π+x）=f（x）
C. f（x）在上单调递减 D. f（x）最大值为
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，，0＜μ＜1，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线MN与A1C1平行
B. 直线CD与平面MNP所成角的正弦值为
C. 若，则三棱锥B-MNP的体积为
D. 若多面体AMNCDPA1B1C1D1存在内切球，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题p： x∈N，3x＜x2+1，则命题p的否定为 .
13.已知双曲线（a＞0，b＞0）右焦点F也是抛物线y2=8x的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为 .
14.已知数列{an}满足，若不等式对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，
（1）求A的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影.某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
女生 40 60 100
男生 25 75 100
合计 65 135 200
（1）试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联；
（2）现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研.记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求E（X）的值.
参考公式及数据，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 7.879 10.828
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，M是棱CC1上一点（不包含端点），N是AB1的中点.
（1）若M是CC1的中点，求证：MN∥平面A1B1C1；
（2）若直线MN与平面AB1C所成角的正弦值为，求CM的长.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点在C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l：与C交于M、N两点.
（ⅰ）若，求m的值；
（ⅱ）若P为平面上一点，且，求|OP|的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=2axe-x-lnx+x+1，a∈R.
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：（n≥2，n∈N*）.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】 x∈N，3x≥x2+1
13.【答案】
14.【答案】[-，+∞）
15.【答案】解：（1）因为sin2A-cos2A=1，可得2sin（2A-）=1，
即，
在三角形中，a＜c,可得A为锐角，所以2A-=，
解得A=；
（2）因为，b=，
由正弦定理可得：a2+c2=4b,
所以a2+c2=12，
由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，即a2=3+c2-3c,
联立方程组整理得，2c2-3c-9=0，
解得c=3或（舍）．
所以S=bcsinA=××3×=．
16.【答案】根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联
17.【答案】证明：取A1B1的中点P，连接，
则．
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=CC1，AA1∥CC1，
所以，
因为M为CC1的中点，所以NP∥MC1，NP=MC1，
所以四边形MNPC1为平行四边形，所以MN∥PC1．
又MN 平面A1B1C1，PC1 平面A1B1C1，
所以MN∥平面A1B1C1
18.【答案】 （ⅰ）±1；（ⅱ）
19.【答案】最小值为f（1）=2 证明：由（2）知，（x＞0），即（x＞0），所以，
则，当且仅当x=1时取等号，
所以，，…，，
将以上n-1个不等式左右两边分别相加得：
=，
即（n≥2，n∈N*）
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