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2025-2026学年四川省成都市青羊区教育科学研究院附属实验学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A. B. C. D.
2.“一丝一粟，来之不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为0.000005千克，用科学记数法表示0.000005为（　　）
A. 0.5×10-5 B. 5×106 C. 5×10-6 D. 5×10-5
3.若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A. B. C. D.
4.为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼.某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，14，16，16，15，则这组数据的中位数是（　　）
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
5.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F若AB=8，BF=5，则△BCF的周长为（　　）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
6.如图所示平面直角坐标系，Rt△OAB 中，AO=2，∠A=90°，∠ABO=30°将 Rt△OAB绕着AB的中点M旋转180°，则点O的对应点的坐标为（　　）
A. B. C. D.
7.若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，其中y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A. x1＜x2＜x3 B. x1＜x3＜x2 C. x3＜x2＜x1 D. x2＜x1＜x3
8.如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB=4CE=4，则tan∠FBG=（　　）
A.
B.
C.
D. 2
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.因式分解：x2-2x+（x-2）= ．
10.如图，将长方形纸条折叠.若∠1=50°，则∠2的度数是 .
11.若m,n是两个连续整数，且，则m+n= .
12.水是生命之源.水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成.现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 .
13.定义一种新运算：a⊙b=ab-2a,则关于x的不等式组的负整数解共有 个.
14.当x=2+，y=2-时，的值为 ．
15.如图，在⊙O的内接正方形ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，得到弧BD，现假设可以在⊙O中随意取点，每个点被取到的机会是相等的，则这个点在阴影区域的概率是 .
16.若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为 .
17.如图，反比例函数经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC.若S△ACO=4，CD：OB=1：3，则k的值是 .
18.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，点D，F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则5GF+4FB的最小值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：（1）.
解方程：（2）2x2-5x+1=0.
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
某校团委为了了解全校学生对“蜀锦”的了解情况进行抽样调查.调查问卷中设计了四个选项：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解.要求每名学生必选且只选一项.调查结束后，校团委根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次参与调查的学生有______人，B的圆心角是______度；
（2）若该校共有1000名学生，请估计全校对蜀锦有了解（包括A、B、C三类）的学生有多少人？
（3）调查发现，A选项的学生中有2名男生和2名女生的能力特别出众，校团委决定从这4名学生中随机选出2名学生参加成都市非遗文化展示活动.请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
21.(本小题8分)
安装了软件“Smart Measure”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端C点的俯角α为20°，D点的仰角β为60°，点A离地面的高度AB=1.5m．求大树CD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，≈2.24．）
22.(本小题12分)
如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE=2，DE=4，∠P=30°，求AP的长.
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=mx（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（-2，m-9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5.
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
24.(本小题8分)
2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
25.(本小题10分)
定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”.
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______；
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
（2）如图1，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
（3）如图2，四边形ABCD是“中方四边形”，若AC2的值为32，则AB+CD的最小值是______.（不需要解答过程）
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.
（1）求抛物线的表达式.
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE=2ED，求点P的坐标.
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F.记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】（x+1）（x-2）
10.【答案】80°
11.【答案】-9
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】16
17.【答案】-3
18.【答案】13
19.【答案】-3；
x1=，x2=
20.【答案】200;108 估计全校对蜀锦有了解的学生有900人
21.【答案】解：如图2，过点A作AE⊥CD于E，
在Rt△ACE中，AB=CE=1.5m，
由tan20°=，得
AE≈4.17．在Rt△ADE中
tan60°=，得
DE=7.21，∴CD=CE+DE=1.5+7.21=8.71≈8.7（m）．
答：大树CD的高为8.7米．
22.【答案】（1）证明：连接OA，如图，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵∠PAB=∠ACB，
∴∠BAC=∠PAB．
∵AB=BC，
∴，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO=90°，
∵OB=OA，
∴∠ABO=∠BAO．
∴∠BAO+∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠PAB=90°，
∴∠PAO=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO=AB．
由（1）知：∠BAC=∠BCA，
∵∠BCA=∠D，
∴∠BAC=∠D．
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB2=12，
∴AB=2，
∴OA=2．
在Rt△OAP中，
∵tanP==，
∴AP==6．
23.【答案】（1）A（-2，-6），B（2，6），反比例函数解析式为y= （2）点N坐标为（-2，4）或（8，4）或（3，-4）或（-，4）
24.【答案】解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元；
（2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40-m）盏乙种路灯，
根据题意得：w=60m+80（40-m）=-20m+3200，
∵-20＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤（40-m），
∴m≤10，
∴当m=10时，w取得最小值，此时40-m=40-10=30（盏）．
答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少．
25.【答案】（1）D；
（2）证明：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN∥BG，MN=BG，RL∥BG，RL=BG，RN∥CE，RN=CE，ML∥CE，ML=CE，
∴MN∥RL，MN=RL，RN∥CE∥ML，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴平行四边形MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MN∥BG，ML∥CE，
∴∠LMN=90°．
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”．
（3）4
26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵当x=0时，y=-x2+2x+3=3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+n,
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（m,-m2+2m+3），则PD=-m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m,-m+3），D（m,0），
∴DE=-m+3，
∴PE=PD-DE=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,
∵PE=2ED，
∴-m2+3m=2（-m+3），
解得m1=2，m2=3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m=2，
∴P（2，3）；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作 AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y=-x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y=-x+b′，
将A（-1，0）代入y=-x+b′，得：0=-（-1）+b′，
解得：b′=-1，
∴直线AN的解析式为y=-x-1，
当x=0时，yN=-1，
∴N（0，-1），
∴ON=1，CN=ON+CO=4，
∵AN∥BC，PQ∥y,
∴∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF，
∵∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ=∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n,-n2+2n+3），则Q（n,-n+3），
∴PQ=-n2+3n,
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON=OA=1，OB=OC=3，
∴∠OBC=∠ANC=45°，
∵∠ANC=∠PQF，
∴∠OBC=∠PQF，
∵，AB=4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP=∠CAB，
∵，
∴．
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