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广东佛山市南海区西樵镇部分校2025-2026学年七年级下学期5月期中联考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.已知a=,b=,c=,则下列关于a,b,c的大小关系中正确的是( )
A. c>a>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>a>c
4.数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有10个球，其中有4个白球、3个红球、2个黑球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）
A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色
5.将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，△ABC中BC边上的高是（　　）
A. CF
B. BE
C. CD
D. AD
7.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（ ）
A. B. C. D.
9.有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为(3a+2b)、宽为(2a+b)的大长方形，则需要C类卡片的张数为（ ）．
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数” 　　
A. 56 B. 66 C. 76 D. 86
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.已知∠A与∠B互余，若∠A=60，则∠B的度数为 ．
12.计算：= .
13.若，，则的值是 ．
14.如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有，，其原理如图2所示，若，则的度数为 ．
15.如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：
四、解答题：本题共9小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
先化简，再求值：其中．
18.(本小题12分)
植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表：
每批棵数n 50 100 150 400 800 1000
成活的棵数m 37 77 316 640 800
成活的频率 b
(1) 完成上述表格： ， ；
(2) 这种树苗成活的概率估计值为 （精确到 ）
(3) 如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？
19.(本小题8分)
如图，直线，
(1) 利用尺规作图：过点B作，且与交于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2) 试说明：．
20.(本小题8分)
如图，在中，点在的延长线上，于点，，平分
(1) 求证：；
(2) 若是的中点，，，求的面积．
21.(本小题12分)
植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表：
每批棵数n 50 100 150 400 800 1000
成活的棵数m 37 77 a 316 640 800
成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b
(1) 完成上述表格： ， ；
(2) 这种树苗成活的概率估计值为 ；
(3) 如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？
22.(本小题8分)
如图，直线，
(1) 利用尺规作图：过点B作，且与交于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2) 试说明：．
23.(本小题12分)
在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
(1) 如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
(2) 若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
(3) 如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
24.(本小题8分)
定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”．
(1) 如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
①求、的度数．
②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2) 如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为 ．
25.(本小题12分)
模型意识以及知识运用
(1) 【感知模型】如图1，正方形的顶点在直线上，分别过点、作于，于．则 ．
(2) 【模型应用】如图2所示，在中，，，于，于，，，则的长为 ．
(3) 【模型变式】如图3，在中，，点、分别是边、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，求证：．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】30°
12.【答案】-5
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：

17.【答案】
=
=，
当时，原式==1．

18.【答案】【小题1】
117
【小题2】
【小题3】
解：（棵），
答：在相同条件下至少需要买棵树苗．

19.【答案】【小题1】
如图所示，即为所求；

∵，
∴；
【小题2】
∵，，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
根据，，
得，
平分，
，
，
在和中，
，
，
；
【小题2】
连接，如图所示：
点是的中点，，
，
在△和△中，
，
，
，
．

21.【答案】【小题1】
117
0.80
【小题2】

【小题3】
解：（棵），
答：在相同条件下至少需要买棵树苗．

22.【答案】【小题1】
如图所示，即为所求；

∵，
∴；
【小题2】
∵，，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
a2+ b2＝（a+b）2-2ab
【小题2】
解∶由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab，
∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2+ b2＝72-2×10=29 ；
【小题3】
解∶设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，
∵AC+BC=8， S1+S2＝40，
∴a+b＝8，a2+b2＝40，
∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab，
∴40＝64-2ab，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积为 ab＝6．

24.【答案】【小题1】
解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（），
∴，
∵，
∴是直角三角形，，
∴，解得，，
∴；
②、都是“友爱三角形”．理由如下：
∵是中边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，，，
∴，
∵与互为“友爱角”（），
∴与互为“友爱角”，
∴是“友爱三角形”；
同理，与互为“友爱角”，
∴是“友爱三角形”；
【小题2】
或

25.【答案】【小题1】
【小题2】
6
【小题3】
证明：∵，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

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