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2025-2026学年上海市黄浦区格致中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共14分。
1.下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（　　）
A. B. y=sin2x C. y=-sinx D.
2.已知c＞0＞a＞b,则下列不等式不成立的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知数列{an}，{bn}（n为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题：
①：存在数列{an}，{bn}，使关于n的方程an=bn的解有无穷多个；
②：存在数列{an}，{bn}，使{x|x=an，n≥1，n∈N}∩{y|y=bn，n≥1，n∈N}有无穷多个元素.
则下列说法正确的是（　　）
A. ①、②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题．
4.如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α，β，γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a,b,c.
为了测出隧道DE的长度，现给出下列四种方案：
①测出a和b；
②测出b和c；
③测出a和c；
④测出a,b,c三者.
则能够测出隧道DE的长度的方案是（　　）
A. ①、④ B. ②、④ C. ③、④ D. ④
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.已知A=（0，+∞），B={y|y=coskπ，k∈Z}，则A∩B= .
6.函数y=tanπx的定义域为 .
7.已知角α为第三象限角，且，则sin2α= .
8.已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为 .
9.已知{an}是等差数列，若a6=1，a26=21，则a2026= .
10.已知f（x）=x2+asinx（a∈R），若，则f（-2）= .
11.已知lna+ln2b=1，则a+b的最小值为 .
12.已知f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，），函数y=f（x）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）的最小正周期为 .
13.已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上是严格增函数，若f（x）＞f（2x-1），则x的取值范围为 .
14.已知等比数列{an}的公比为q,若，则的取值范围是 .
15.如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为3百米，AD平分∠BAC，边AB和AD的长度都为4百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为 百米（精确到0.01百米）
16.已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以（-1）m后再求和.若集合A={n|1≤n≤10，n∈N}，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为 .
三、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题11分)
已知函数y=f（x）的表达式为f（x）=cos（2x+φ），.
（1）若，求的值；
（2）若，，f（π）依次成等比数列，求φ的值.
18.(本小题11分)
已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差为2，等比数列{bn}的首项b1=1，公比为，数列{cn}满足（n为正整数）.
（1）依次写出数列{cn}的前6项；
（2）设，判断f（n）是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由.
19.(本小题11分)
在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,其中.
（1）若，且a=2c,求边长c的值；
（2）若，，求△ABC的面积.
20.(本小题11分)
若函数y=f（x），x∈D，其值域为A.若A D，则称函数y=f（x）在区间D上为封闭函数.
（1）已知f（x）=lg（x+1），判断函数y=f（x）是否在区间[0，9]上为封闭函数，并说明理由；
（2）已知g（x）=x2+4x,若函数y=g（x）在区间[a,b]上不为单调函数，但在区间[a,b]上为封闭函数，求b-a的值：
（3）已知函数y=h（x）在区间[a,b]上连续且为封闭函数，且对于任意的x、y∈[a,b]，都有|h（x）-h（y）|=L|x-y|（0≤L＜1）成立.若数列{xn}满足xn+1=h（xn）（n为正整数），证明：存在唯一常数c∈[a,b]，使得h（c）=c,且对于任意的x1∈[a,b]，都有.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】{1}
6.【答案】{x|x≠k+，k∈Z}
7.【答案】
8.【答案】4
9.【答案】2021
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4π
13.【答案】
14.【答案】（0，2）
15.【答案】14.75
16.【答案】2560
17.【答案】
18.【答案】-1，，3，，7， 当n=1时，f（n）取到最小值，无最大值
19.【答案】2
20.【答案】是，理由如下：
函数f（x）=lg（x+1）在[0，9]上单调递增，当x∈[0，9]时，
函数f（x）的值域为[0，1] [0，9]，所以函数y=f（x）在区间[0，9]上为封闭函数 4 由函数y=h（x）在[a，b]上连续且为封闭函数，令F（x）=h（x）-x，则函数F（x）在[a，b]上连续，
由函数y=h（x）在[a，b]上为封闭函数，得h（a）≥a，h（b）≤b，即有F（a）=h（a）-a≥0，F（b）=h（b）-b≤0，
由函数F（x）在[a，b]上连续，且F（a） F（b）≤0，得存在c∈[a，b]，使得F（c）=h（c）-c=0，即h（c）=c，
假设存在c1，c2∈[a，b]，且c1≠c2，使得h（c1）=c1，h（c2）=c2，则|h（c1）-h（c2）|=|c1-c2|，
又任意的x，y∈[a，b]，都有|h（x）-h（y）|=L|x-y|（0≤L＜1）成立，
则|h（c1）-h（c2）|=L|c1-c2|＜|c1-c2|，矛盾，因此存在唯一的常数c∈[a，b]，使得h（c）=c，
数列{xn}满足xn+1=h（xn），n≥1且n∈N，
由x1∈[a，b]，得x2=h（x1）∈[a，b]，则x3=h（x2）∈[a，b]，…，
数列{xn}中的xn∈[a，b]，n≥1且n∈N，由xn，c∈[a，b]，得|xn+1-c|=|h（xn）-h（c）|=L|xn-c|（0≤L＜1），
，由0≤L＜1，得，
即，于是，
所以存在唯一常数c∈[a，b]，使得h（c）=c，且对于任意的x1∈[a，b]，都有
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