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2025-2026学年辽宁省鞍山市第三中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则f′（2）=（　　）
A. 3 B. -3 C. 6 D. -6
2.已知等比数列{an}的公比不为1，且a4，a3，a5成等差数列，则数列{an}的公比为（　　）
A. -2 B. -1 C. D. 2
3.记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a7=6，a11=17，则S15=（　　）
A. 120 B. 130 C. 140 D. 150
4.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，a2=3，an+an+2=an+1，则S2026的值为（　　）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
5.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）=aex-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　）
A. e2 B. e C. e-1 D. e-2
8.已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，2] B. [2，+∞） C. （-∞，1] D. [1，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下面结论正确的是（　　）
A. a7=0 B. d≥0
C. S6与S7均为Sn的最大值 D. 满足Sn＜0的n的最小值为14
10.记Sn为数列{an}的前n项和.已知Sn=2an+n,则（　　）
A. a1=1 B. 数列{an-1}为等比数列
C. S2025=2026+a2026 D. an＜an+1
11.已知函数f（x）=ex-ln（x+1）-1，g（x）=lnx-ax,对 x1∈（-1，+∞）， x2∈（0，+∞），使得f（x1）≥g（x2）成立.下列结论正确的是（　　）
A. x0∈[0，2]，使得f′（x0）=0
B. 函数y=f（x）的最小值为0
C. a的取值范围为
D. 过（0，0）作y=f（x）的切线，有且只有一条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列{an}满足a1=1，an+1-an=2n，则a5= ______．
13.已知函数f（x）=x3-2ax2+a2x在x=1处取得极小值，则a= .
14.已知函数，若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况.累计票房y（单位：千万元）与上映天数x（单位：天）的数据如表所示：
累计票房y 20 40 60 80 100
上映天数x 4 7 9 10 15
（1）利用表中的数据，计算相关系数r（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
（2）求y关于x的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）
参考公式：经验回归方程=x+，其中.
相关系数.
参考数据：.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且.{bn}是正项等比数列，且a1=b1，a5=b3.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=2x3-3x2-12x+5（x∈R）.
（1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]的最大值和最小值；
（3）若曲线y=f（x）与直线y=c有3个不同的交点，求实数c的取值范围.
18.(本小题17分)
已知公差不为零的等差数列{an}满足a1=1，且a2，a4，a8成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：lnan≤an-1；
（3）若数列{bn}满足，证明：（e为自然对数的底）.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2+（a-2）x-lnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，f′（x）为f（x）的导函数.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）记f（x）较小的一个零点为x0，证明：x0f′（x0）＞-2.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】21
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】r≈0.97，两个变量的线性相关程度很强 =x-，预测上映40天时的累计票房为294.85千万元
16.【答案】an=2n-1，
17.【答案】12x+y-4=0 fmax（x）=5，fmin（x）=-15 （-15，12）
18.【答案】（1）解：设等差数列{an}公差为d（d≠0），∵a1=1，a2，a4，a8成等比数列，
∴，即（1+3d）2=（1+d）（1+7d），解得d=1或d=0（舍去），
∴数列{an}的通项公式；
（2）证明：设，
当x≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，∴lnx-x+1≤0，由（1）可知an≥1，
则有lnan-an+1≤0，∴不等式lnan≤an-1恒立．
（3）证明：∵，
∴要证，
只需证，
由（2）可知lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），
又=，∴=＞0，∴ln（1+）＜，
则
=
＜
=
=，
∴．
19.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．
（i）（0，1）；
（ii）证明见解析．
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