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2025-2026学年辽宁省鞍山三中等校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知角α终边经过点P（-3，4），则cosα的值为（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量=（1，2），=（m，-1），且，则实数m=（　　）
A. B. C. 2 D. -2
3.要得到函数y=sin2x的图象，只需要将函数的图象（　　）
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
4.已知，且，则的值为（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示A，B两点之间的距离为10，且f（3）=0，则函数f（7）的值为（　　）
A. ±3
B. 3
C. -3
D. 0
6.下列四个函数：①y=sin2x；②y=|sinx|；③y=cos|2x|；④y=|tanx|，其中既是偶函数且最小正周期为π的函数个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知函数在区间上单调递增，且f（x）在区间上只取得一次最大值，则ω的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x+1）=f（-x+1），且当0≤x≤1时，f（x）=tanx,则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，则（　　）
A. B. BC边上的中线长
C. BC边上的角平分线长 D. △ABC外接圆的面积为
10.在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB＞cosA+cosB
C. 若a=8，c=10，A=45°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰直角三角形
11.已知f（x）=asin2x+cos2x,下列说法正确的是（　　）
A. 若a=1，f（x）在区间上单调
B. 若f（x）关于直线对称，则
C. 若a=2，且（m,0）为f（x）的一个对称中心，则
D. 若a=-2，当x=x0时，函数f（x）取得最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 .
13.= .
14.已知O为圆心，点A是圆O上一点，点P是圆O内部一点.若，且，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，.
（1）求cosα的值；
（2）若，，求cosβ的值.
16.(本小题15分)
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）若△ABC为锐角三角形，其面积为，c=2，求a的值；
（2）若，求tanC的值．
17.(本小题15分)
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在PQ上（异于点P，Q），过A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l,面积为S.
（1）分别求出S和l关于θ的函数解析式，并将解析式化简为Asin（ωx+φ）+B的形式，其中；
（2）当θ为何值时，S有最大值？并求出最大值.
18.(本小题17分)
已知向量，.
（1）若向量在向量上的投影向量为，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围；
（3）对 k∈R，求证：当（λ∈R）取得最小值时，.
19.(本小题17分)
游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到；另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[3，）
15.【答案】
16.【答案】解：（1）因为2asinB=b，
由正弦定理可得2sinAsinB=sinB，
在△ABC中，sinB≠0，可得sinA=，
而△ABC为锐角三角形，所以A=，
因为S△ABC=bcsinA=b×2 =，可得b=3，
由余弦定理可得a===；
所以a的值为；
（2）因（b-a）（b+a）=c2，所以a2=b2-c2，
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，
所以b2-c2=b2+c2-2bccosA，
即cosA=＞0，而sinA=，所以cosA=，
所以可得=，即=，可得=，
整理可得：sinC=cosC，
可得tanC=．
17.【答案】， 当θ为时，面积S有最大值，最大值为
18.【答案】k= { k|k＞-且k≠} =+λ2+2λ 是关于λ的二次函数，
因为λ∈R，所以λ=-=-时，取到最小值，
即|+λ|在λ=-时取最小值；此时（+λ） = +λ= - = - =0；所以（+λ）⊥
19.【答案】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，
所以sinA=，sinC=，
从而sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
=sinAcosC+cosAsinC==
由正弦定理，
得AB===1040(m)．
答：索道AB的长为1040m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得：
d2=（100+50t）2+（130t）2-2×130t×（100+50t）×=200（37t2-70t+50），
因0≤t≤，即0≤t≤8，
当t=时，d2最小，甲、乙两游客距离最短．
答：当t=min时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，
得BC===500m，
乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，
还需走710m才能到达C．
设乙步行的速度为 vm/min，
由题意得-3≤≤3，
解得，
答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]（单位：m/min）范围内．

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