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2025-2026学年江西省宜春市实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，已知公差d=-2，a8=4，则a2=（　　）
A. 16 B. 14 C. -6 D. -8
2.下列求导运算中正确的是（　　）
A. （4）′=2 B. C. D. （x5）′=5x4
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=12，S8=40，则S12=（　　）
A. 44 B. 52 C. 68 D. 84
4.等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a3=3a6，则Sn取最大值时的n为（　　）
A. 7 B. 8 C. 14 D. 15
5.已知Sn是数列{an}的前n项和，an+1+an=5×2n+n,则S10=（　　）
A. 2575 B. 3435 C. 4345 D. 5135
6.已知f（x）=x-sinx,则不等式f（x2-1）＞f（x-1）的解集是（　　）
A. （-∞，0）∪（1，+∞） B. （1，+∞）
C. （0，1） D. （-∞，1）
7.曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 0
8.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款a元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（　　）
A. a（1+t）12元 B. 元
C. 元 D. 元
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 已知函数f（x）=x3+2x,则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为30
B. 函数V=2t2-1在t=2时瞬时变化率为7
C. 定义在R上的可导函数f（x），已知P（x0，y0），若f′（x0）=2，则
D. 定义在R上的可导函数f（x），已知P（x0，y0），若f′（x0）=1，，则m=-1
10.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1=14，2a4+3a3-2a2=0，数列前n项积为Tn，则（　　）
A. {an}是单调递减数列 B. {an}是单调递增数列
C. {an}中的项为整数的只有2个 D. Tn的最大值为T4
11.已知函数f（x）=（x2-3a）ex，x∈R，则下列不正确的是（　　）
A. 若f′（0）=3，则
B. 若f（x）在区间（-3，1）上单调递增，则
C. 当a=8时，函数f（x）的递减区间为（-6，4）
D. 若方程（x2-3）ex=a有三个实数解，则a∈（-2e,6e-3）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-4n,则数列{an}的通项公式为 .
13.已知函数f（x）=exln（2x-1），则f′（1）= .
14.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜.用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an+1与an的关系可以表示为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线f（x）=x3-x+1，
（1）求函数的单调区间；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
16.(本小题15分)
第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩；
（2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足，且a1=2.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn.
18.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为，右顶点为A，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）倾斜角为45°的直线l交该椭圆于M，N两点，且∠MAN=90°，求直线方程.
19.(本小题17分)
已知函数，
（1）若a=2，求函数在（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】an=6n-7，n∈N*
13.【答案】2e
14.【答案】
15.【答案】函数的单调递增区间为，递减区间为 y=2x-1或y=-x+1
16.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15，10t,0.2，0.35，0.05，
则0.15+10t+0.2+0.35+0.05=1，解得，
设平均成绩的估计值为，
则，
所以这100名学生的平均成绩估计值为74分．
（2）每个学生成绩不低于80分的概率为0.4．
3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率；
3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率；
3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率P=P1+P2=0.352．
17.【答案】（1）数列{an}满足，且a1=2，
可得=+2，且=1，
则数列是首项为1，公差为2的等差数列 （2）an=（2n-1） 2n （3）Sn=（2n-3） 2n+1+6
18.【答案】
19.【答案】x-y-2=0 当a≤2时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当2＜a＜3时，f（x）在（0，a-2）和（1，+∞）上单调递增，在（a-2，1）上单调递减；当a=3时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞3时，f（x）在（0，1）和（a-2，+∞）上单调递增，在（1，a-2）上单调递减
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