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2025-2026学年江苏省无锡市惠山区堰桥高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知（2-i） z=5，则复数z是（　　）
A. i+2 B. i-2 C. -2-i D. 2-i
2.下列说法正确的是（　　）
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
D. 棱台的所有侧棱交于同一点
3.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=O′C′=2，A′O′=，那么原△ABC是一个（　　）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 三边中只有两边相等的等腰三角形
D. 三边互不相等的三角形
4.已知△ABC中，a=2，，，则A=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
5.在△ABC中，三条边分别为a，b，c，若a=4，b=5，c=6，则三角形的形状（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定
6.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，动点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是（　　）
A. [0，1] B. [-1，2] C. [-2，2] D. [-1，1]
8.在△ABC中，已知AB=1，AC=3，cosB+sinC=1，则BC的长为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知平面向量=（1，2），，则下列正确的是（　　）
A. ||=5
B. 与同向的单位向量为=（，）
C. 当x=2时，则向量在向量上的投影向量为
D. 若向量与向量夹角为钝角，则x∈（-∞，1）
10.设复数，z2=x+yi（x,y∈R），在复平面内，z1，z2对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（　　）
A. |z1|=2
B.
C. 若，则
D. 若，则|z2-2i|的最大值为
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1C1上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A. A1C1∥平面ACD1
B. 存在点P，使得直线AC与BP共面
C. PB1+PA的最小值为
D. 若M为线段B1C上的动点，且MP∥平面ABB1A1．则MP的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形ABCD的顶点A（-1，-2），B（3，-1），C（5，6），则顶点D的坐标为______．
13.如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km,基站A，B在河的北岸，测得∠ACB=60°，∠ACD=105°，∠ADC=30°，∠ADB=60°，则A、B两个基站的距离为 .
14.已知平面向量满足，且不等式对任意实数λ都成立，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若复数z=（m2-2m-3）+（m2-5m+6）i（m∈R），i为虚数单位.
（1）当复数z为纯虚数时，求实数m的值；
（2）当m=1时，z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a,b,c,向量，.
（1）若，求A；
（2）若，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点.
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：BC∥AD.
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
（1）求中线AM的长；
（2）若∠BAC的平分线为AD，求AD的长；
（3）求∠MPN的余弦值.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
（1）若△ABC是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点O到各顶点的距离之和；
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=bsinA，点P为△ABC的费马点.
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）若，求m+n的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】（1，5）
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】-1；
p=16，q=40．
16.【答案】
17.【答案】取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF=AD，
因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以BC∥AD，
又，
所以EF∥BC，EF=BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，
所以CE∥BF，
又CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB 因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以BC∥AD
18.【答案】
19.【答案】；
（i）-2；（ii）．
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