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2025-2026学年江苏省泰州市泰兴市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i为虚数单位，则=（　　）
A. B. C. D.
2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=1，A=60°，则B等于（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 150°
3.已知向量=（2，4）， =10，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. （4，2） B. （2，4） C. D. （1，2）
4.已知均为锐角，则sinα=（　　）
A. B. C. D.
5.已知点A（1，2），B（1，4），C（-2，1），则点A到直线BC的距离为（　　）
A. 1 B. C. D.
6.如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，A，B是原来小正方形的两个顶点，Pl（i=1，2，…，10）是小正方形的其余顶点，的所有不同的数值有（　　）
A. 10个 B. 7个 C. 5个 D. 3个
7.对任意锐角α，β，下列不等关系恒成立的是（　　）
A. sin（α+β）＞sinα+sinβ B. sin（α+β）＞cosα+cosβ
C. cos（α+β）＜cosα+cosβ D. cos（α-β）＜sinα+sinβ
8.如图，△ABC中，点M，N满足与CM交于点P，延长AP交BC于点D，则（　　）
A. S△ABP：S△ABN=5：4
B. S△AMP：S△APC=1：7
C. S△PBD：S△APN=6：7
D. S△MBP：S△PCN=2：9
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的有（　　）
A. 若复数z∈R，则
B. 若为虚数，则z1也为虚数
C. 若复数m2+3m-4+（m2-2m-24）i=0，则实数m=1或m=-4
D. 若复数z=x+yi（x,y∈R）满足|z+1|=|z-i|，则x+y=0
10.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的有（　　）
A. E，F，G，H四点共面
B. EG，FH，AA1三线共点
C. 此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分
D. 在空间，到A，B，C三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面
11.在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且，△ABC的面积和周长均为12，△ABC的外接圆半径为R，则（　　）
A. B. abc=48
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则= .
13.= .
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=bc（1-cosA），则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，已知向量.（其中m∈R），D为坐标平面内一点.
（1）若A，B，C三点共线，求m的值；
（2）若四边形ABCD为矩形，求D点坐标.
16.(本小题15分)
已知tanα，tanβ是方程x2+5x-6=0的两根，求下列各式的值：
（1）：
（2）sin2（α+β）.
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点.
（1）求异面直线D1P与A1B所成角的余弦值；
（2）设直线D1P与平面ABCD交于点Q，请在答题卡上作出线段CQ，并求其长度.
18.(本小题17分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB.
（1）已知.
①若AD是∠BAC的角平分线，，求CD的长；
②若λ=2，求△ABC面积的最大值.
（2）若E是边AB的三等分点（靠近点A），AE=tCE，求实数t的取值范围.
19.(本小题17分)
（1）已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做将点N绕点M沿逆时针方向旋转θ角得到点P.请解决下列问题：
①若，且点M坐标为（0，0），θ=30°，求点P的坐标；
②若，求证：.
（2）如图，△ACD中，AD=1，CD=2，在平面ACD内将点C绕点A沿顺时针方向旋转得到点B，记∠ADC=α.
①若，求BD的长度；
②若，求BD长度的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】m=5 D（-1，1）
16.【答案】1
17.【答案】
18.【答案】①1；②
19.【答案】①P（0，2）；②若，设，与x轴正方向的夹角为β，
所以x=rcosβ，y=rsinβ，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，
所以，与x轴正方向的夹角为β+θ，
设，
根据两角和的余弦公式可得x′=rcos（β+θ）=rcosβcosθ-rsinβsinθ=xcosθ-ysinθ，
根据两角和的正弦公式可得y′=rsin（β+θ）=rsinβcosθ+rcosβsinθ=ycosθ+xsinθ，
所以 ①3；②
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