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2025-2026学年吉林省四平实验中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某大学食堂备有4种荤菜、6种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（　　）
A. 13 B. 18 C. 24 D. 72
2.已知随机变量X服从两点分布,E(X)=0.7,则其成功概率为( )
A. 0 B. 1 C. 0.3 D. 0.7
3.已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＞0）=0.8，则P（0＜X＜1）=（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.8
4.在（x-2y）10的展开式中，x7y3的系数为（　　）
A. -120 B. 120 C. -960 D. 960
5.已知根据如下表所示的样本数据，已知线性回归方程为，且该回归直线经过样本中心，则当x=8时的残差为（　　）
x 2 4 6 8 10
y 5.8 5.1 3.8 3.2 2.1
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
6.以A，B分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若P（A）=0.2，P（B）=0.1，P（A|B）+P（B|A）=0.75，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（　　）
A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05
7.一张圆桌周围设有编号为1～5的5把椅子，3位男生和2位女生围着圆桌就坐，且2位女生不相邻，则不同的排列方式有（　　）
A. 40种 B. 50种 C. 55种 D. 60种
8.整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则E（X）=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于经验回归方程=3-2x,以下判断正确的是（　　）
A. 变量x与变量y正相关
B. 该方程一定过点
C. 根据经验回归方程可以预测，当x=2时，变量y=-1
D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位
10.袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为X，则（　　）
A. 随机变量X服从超几何分布
B.
C. E（2X-1）=1
D. 记这4个球中白球的个数为Y，则D（X）=D（Y）
11.已知随机事件A，B，C满足，，，，则（　　）
A.
B. 事件A，B相互独立
C. P（A|B）=P（B）
D. 若，则A与C互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=-0.96，r2=0.92，r3=0.89，则这三人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13.组织一场马拉松比赛，其组委会在比赛沿途的12.5公里、17.5公里、22.5公里、27.5公里、32.5公里、35公里、37.5公里以及半程和全程终点处共设置九个能量补给站并配备有若干志愿者，则安排两名志愿者不在同一补给站且不在相邻的两个补给站的方案共有 种（用数字作答）.
14.已知9910-m恰能被1000整除，m＞0，则m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
16.(本小题15分)
某研究团队为探讨体育锻炼对青少年身心健康的影响，抽取960名有体育锻炼习惯的在校中学生进行问卷调查，统计表格数据如下：
初中 高中 合计
男 270 230
女 230 230
合计
（1）完成表格数据，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，分析参与问卷调查的中学生性别分布是否存在年级差异？
（2）每日锻炼对身心健康有显著影响.已知每日锻炼时间超过1小时的学生身心健康达标率为87%，现随机抽取2名每日锻炼时间超过1小时的学生进行健康评估，求至少有1名学生身心健康达标的概率.
附：，其中n=a+b+c+d.
P（Χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
17.(本小题15分)
（1）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a,各项的系数之和为b,a+b=275，求n的值；
（2）求（x2+x+y）5的展开式中x5y2的系数.
18.(本小题17分)
国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动.活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有1个小球上写着免门票.游客从盒子里摸出1个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票.然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖.
（1）小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为X，求随机变量X的分布列、数学期望和方差；
（2）现往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票，当小王选好1个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会执行如下不同方案操作：
方案一：若小王保留第一次选择的球，则直接判定是否免门票；
方案二：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票；
方案三：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回盒中，再让小王从盒中的7个球中抽取1个来判定是否免门票.
请问小王按哪种方案摸球更容易免门票？请说明理由.
19.(本小题17分)
某学校有A，B两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第n天选择在A餐厅用餐的概率为pn（n∈N*），已知王同学第1天选择的是在A餐厅用餐.
（1）求p3；
（2）求pn（n∈N*）；
（3）若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设X为王同学前5天在A餐厅用餐的次数，求X的分布列和数学期望.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】甲
13.【答案】56
14.【答案】1
15.【答案】解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．
16.【答案】
初中 高中 合计
男 270 230 500
女 230 230 460
合计 500 460 960
不存在年级差异 0.9831
17.【答案】5 30
18.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望，方差 方案三，理由如下：
依题意，可知再往盒子中再放入3个球，
其中有1个写着免门票可知现在盒中共有8个球，其中2个写有免门票，
因此可知若采用方案一：若小王保留第一次选择的球，
则其免门票的概率为；若采用方案二，有以下两种情况：
情况一：
若小王初始选择的球为免门票的，其概率为；若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，
此时剩余4个球中全部是没有写免门票的球，
再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，
则其抽到免门票球的概率为0；情况二：
若小王初始选择的球不是免门票的，其概率为；若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，
此时剩余4个球中有3个是没有写免门票的球，1个写免门票的球，
再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，则其抽到免门票球的概率为；所以采取方案二小王抽到免门票球的概率为；若采用方案三，无论小王初始选择的球是否为免门票球，
当工作人员从盒中拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回后，
盒中都变为7个球，其中有2个写有免门票的球．
因此，小王再从中抽取1个球，抽到免门票球的概率为；显然易知P3＞P1＞P2，
所以小王按方案三摸球更容易免门票
19.【答案】 X的分布列为：
X 2 3 4
P
E（X）=2.8
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