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2025-2026学年河南省许昌市第二高级中学等四校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则=（　　）
A. 20 B. 21 C. 27 D. 42
2.已知在等差数列{an}中，a2+a9+a16=12，则其前17项和S17=（　　）
A. 85 B. 68 C. 51 D. 34
3.已知随机变量ξ的分布列如表所示，且满足E（ξ）=1，则D（ξ）=（　　）
ξ -2 0 3
P a b
A. B. C. 4 D. 5
4.双曲线和抛物线y2=2px（p＞0）的公共焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标为5，则|AB|=（　　）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
5.现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　）
A. 35种 B. 70种 C. 126种 D. 210种
6.函数f（x）=lnx+ax2-5在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（　　）
A. a＜-2 B. C. D. a＞-2
7.已知数列{an}满足a1=1，且，则a15=（　　）
A. 223 B. 233 C. 243 D. 253
8.如图，已知椭圆与双曲线（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点，且，则的最大值为（　　）
A. B. 4 C. 8 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，0），B（1，0，2），C（0，1，3），D（2x-1，1，-x），则下列结论正确的是（　　）
A. 若AD⊥BC，则
B. =（0，2，-4）是直线AB的一个方向向量
C.
D. 若点Q是点B（2，3，2）在Oyz平面内的射影，则
10.寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，则下列说法中正确的是（　　）
A. 甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件
B. 甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立
C. 甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于
D. 若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为
11.已知直线y=-x+2与函数y=ex和y=lnx的图象分别交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则= .
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，3Sn=2an+1-3，则S2为 ；满足Sn＞30的最小整数n为 .
14.为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；若摸到两红球，可获得价值b百元代金券；若摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a,b均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得 百元代金券.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设数列{an}满足a1=3，a2=8，且an+2=2an+1-an+5.
（1）求证：数列{an+1-an}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
16.(本小题15分)
已知（n为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128.
（1）求展开式中的第4项；
（2）求展开式中有理项的个数；
（3）求展开式中系数最大的项.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=BC=CD=4，点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上.
（1）若M为DQ的中点，求证：PM∥平面ABC；
（2）若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.
（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N（65，144），若得分Z≥77则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）.
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973.
19.(本小题17分)
已知f（x）=e2x-ax+2，a∈R，e是自然对数的底数.
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-2=0有两个不等实根，求a的取值范围；
（3）当a=2e时，若满足f（x1）=f（x2）（x1＜x2），求证：x1+x2＜1.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】AD
12.【答案】64
13.【答案】
4

14.【答案】18
15.【答案】已知an+2=2an+1-an+5，移项可得an+2-an+1=an+1-an+5，
设bn=an+1-an，则bn+1=an+2-an+1，那么bn+1-bn=an+2-an+1-（an+1-an）=5，
又b1=a2-a1=8-3=5，所以数列{an+1-an}是以5为首项，5为公差的等差数列
16.【答案】2835x-7 共有4个有理项 5103和
17.【答案】证明：连接AQ，因为P，M分别是AD，DQ的中点，
所以PM∥AQ，
又AQ 平面ABC，PM 平面ABC，
所以PM∥平面ABC
18.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为8，方差为7
19.【答案】当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2e，+∞） 证明：当a=2e时，f（x）=e2x-2ex+2，求导得f′（x）=2e2x-2e，
由（1）知，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增；由x1＜x2，且f（x1）=f（x2），得，
令函数h（x）=f（x）-f（1-x），，
求导得，
则函数h（x）在上单调递增，有，于是f（x）＜f（1-x），
而，因此f（x1）＜f（1-x1），即f（x2）＜f（1-x1），
又，，
函数f（x）在上单调递增，所以x2＜1-x1，
所以x1+x2＜1
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