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2025-2026学年甘肃省白银市会宁县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=x2-x f′（1），则f′（2）=（　　）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
2.函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知，，且，则x=（　　）
A. B. -3 C. D. 3
4.对于函数f（x）=xlnx,若f′（x0）=3，则实数x0的值为（　　）
A. e2 B. e C. D. ln2
5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，BC=2AE=2，则向量与的夹角的余弦值是（　　）
A.
B.
C.
D. 0
6.统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）ex-1的极值点，则f（x）的极大值为（　　）
A. -1 B. 5e-3 C. -2e-3 D. 1
8.设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=ln（2x-2）上，则|PQ|最小值为（　　）
A. 1-ln2 B. （2-ln2） C. 1+ln2 D. （1+ln2）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知事件A，B满足P（A）=0.7，P（B）=0.2，则下列结论正确的是（　　）
A. P（AB）=0.14
B. 如果B A，那么P（A∩B）=0.2
C. 如果A与B互斥，那么P（A∪B）=0.9
D. 如果A与B相互独立，那么
10.函数f（x）=x3+3ax+2存在3个零点，则实数a的取值可以是（　　）
A. -2 B. -1 C. -3 D. -5
11.M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上一点，则（　　）
A. 当M在线段C1D1上运动时，三棱锥A1-BCM的体积为定值
B. 当M在线段B1D1上运动时，AM与BD所成角的取值范围是
C. 设E是AB的中点，若，则线段ME长度的最大值为
D. 若直线AM与平面ABCD所成的角为，则点M的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数m= .
13.若，，则P（AB）= .
14.若函数f（x）=x2+kx+2lnx存在单调递减区间，则实数k的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ln（1+x）.
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：.
16.(本小题15分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是BC的中点.
（1）求证：AB1⊥A1M；
（2）求二面角B-A1M-C1的大小.
17.(本小题15分)
某校高二年级数学模拟卷共有5道试题，其中代数题3道，几何题2道，现从这5道题中不放回地依次随机抽取2道题组成一份小测验（即第1次抽1题，记录后不放回，再抽第2题）.
（1）求“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率；
（2）已知第1次抽到的是代数题，求第2次抽到几何题的概率；
（3）比较（1）与（2）的结果，说明两次抽取是否相互独立，并简述理由.
18.(本小题17分)
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.若发送信号为0的概率是0.4，发送信号为1的概率是0.6.
（1）分别求接收信号为0和1的概率；
（2）已知接收信号为0，求发送信号是1的概率.
（3）现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为0的概率仍是0.4，发送信号为1的概率仍是0.6，求最终判决错误的概率.
19.(本小题17分)
设函数f（x）=ex-e-x，f′（x）为函数f（x）的导函数.
（1）求证：f′（x）≥2；
（2）设函数g（x）=f（x）-ax（a∈R）.
（i）讨论g（x）的单调性；
（ii）若x≥0时，g（x）≥0，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】（-∞，-4）
15.【答案】y=x 证明如下，
令，易知g（x）的定义域为（-1，+∞），
则，当x∈（0，+∞），g′（x）＞0，当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，
所以g（x）在区间（-1，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，
故g（x）≥g（0）=0，则，命题得证
16.【答案】解：（1）证明：在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
由正方体的性质知，BM⊥平面ABB1A1，
因为AB1 平面ABB1A1，所以BM⊥AB1，
又A1B∩BM=B，A1B、BM 平面A1BM，
所以AB1⊥平面A1BM，
因为A1M 平面A1BM，所以AB1⊥A1M．
（2）设C1D与CD1相交于点N，过点N作NP⊥A1M于点P，连接C1P，
则∠C1PN为二面角C-A1M-C1的大小，
因为正方体的棱长为4，
所以由勾股定理得C1N=2，A1N=2，MN=2，A1M=6，
所以A1N2+MN2=A1M2，即∠A1NM=90°，
所以PN===2，
在Rt△C1NP中，tan∠C1PN===1，所以∠C1PN=45°，
而二面角B-A1M-C1与二面角C-A1M-C1互补，
所以二面角B-A1M-C1的大小为135°．
17.【答案】 两次抽取不是相互独立的
18.【答案】0.39；0.61 0.01555
19.【答案】由f（x）=ex-e-x，
可得，
当且仅当x=0时等号成立，
所以f′（x）≥2 （i）当a≤2时，g（x）在R上单调递增；当a＞2时，g（x）在（x1，x2）上单调递减，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增；（ii）（-∞，2]
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