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2025-2026学年福建省莆田四中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为，（-1，2），则=（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，点D是BC中点，记=，=，则=（　　）
A. -+2 B. -2 C. -2+ D. 2-
3.已知向量的夹角为，，则=（　　）
A. B. C. 48 D. 75
4.如图，ΔA'B'O'是利用斜二测画法画出的Rt△ABO（∠ABO为直角）的直观图，Rt△ABO的面积为16，图中O'B'=4，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'，则A'C'的长为（　　）
A. 1
B.
C.
D.
5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且，AA1=BC=2，则球O的体积为（　　）
A. B. 8π C. 12π D. 20π
7.中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（　　）
A. 14斤 B. 24斤 C. 38斤 D. 56斤
8.已知△ABC的外接圆圆心为E，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=4，b2-24cosA=6acosC，若，则=（　　）
A. 8 B. 13 C. 16 D. 32
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是（　　）
A. 若a＞b,则cosA＞cosB
B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB．
C. 若a2+b2＜c2，则∠C为钝角
D. 若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC为直角三角形
10.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A. 若复数z的共轭复数为，则
B. 若1-3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则q=-8
C. 若复数z满足|z-i|=1，则|z|的最大值为2
D. 已知是方程x3=1在复数域的一个根，则
11.已知圆锥SO的侧面积为3π，母线SA为l,底面圆的半径为r,点P满足，则（　　）
A. 当r=1时，圆锥SO的体积为
B. 当时，顶点S和两条母线构成的截面三角形的最大面积为
C. 当r=1时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为
D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 .
13.如图，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间的B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1，一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°，则此时无人机到甲、丙两船的距离之比为 .（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）
14.已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为75π.若在该圆锥内放入三个半径均为r的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则r= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知、、是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，与垂直，求λ；
（2）若，且，求的坐标.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2、E、F、G分别为CD、CC1、BB1中点.
（1）求三棱锥C-BEF的体积；
（2）求证：DG∥平面BEF.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,满足b+2bcosA=c.
（1）证明A=2B；
（2）若b=2，c=1，点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD的值.
18.(本小题17分)
重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB=，弓形花园的弦长|AB|=2，记弓形花园的项点为M，∠MAB=∠MBA=，设∠OBA=θ.

（Ⅰ）将|OA|，|OB|用含有θ的关系式表示出来；
（Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
19.(本小题17分)
赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.
（1）图1中直角三角形的两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求cos（α-β）的值；
（2）图2中△DEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，
（ⅰ）若，，求的值；
（ⅱ）若，设，求cosθ的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】（6，0）
13.【答案】2：3
14.【答案】
15.【答案】 或
16.【答案】 证明：连接GC1，C1D，
由题意可得BG∥FC1且BG=FC1，
∴四边形BGC1F为平行四边形，
∴GC1∥BF，
又∵GC1 平面BEF，BF 平面BEF，
∴GC1∥平面BEF，
同理可证DC1∥平面BEF，
又∵DC1，GC1 平面DGC1，DC1∩GC1=C1，
∴平面DGC1∥平面BEF，
又∵DG 平面DGC1，
∴DG∥平面BEF
17.【答案】证明如下，
根据b+2bcosA=c，利用正弦定理得：sinB+2sinBcosA=sinC，
又因为sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
因此sinB+2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，
因此sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），
而A，B为三角形内角，所以B=A-B或A-B=π-B，
因此A=2B或A=π（舍去），
所以A=2B
18.【答案】解：（Ⅰ）在△OAB中，
由正弦定理可知，
则，即
由正弦定理可得，
则==．即
（Ⅱ）∵，
∴|AM|=|BM|=2，
在△OMB中，由余弦定理可知
=
=
=
=，
∵，∴，
∴ ，
当时，即时，
|OM|取最大值，
=
==，
=
==，
即当时，|OM|取最大值．
19.【答案】 （i）；（ii）
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