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2025-2026学年福建省龙岩高级中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量与共线，则实数k=（　　）
A. 0 B. 1 C. -1或3 D. -3或1
2.曲线y=x3-2x+3在点（-1，）处的切线的倾斜角为（　　）
A. - B. C. D.
3.已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则=（　　）
A. 9 B. 8 C. 3 D.
4.若函数f（x）=x2-x,则函数f（x）从x=1到x=3的平均变化率为（　　）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
5.已知空间三点A（1，1，1），B（-1，0，4），C（2，-2，3），则向量与的夹角为（　　）
A. 60° B. 30° C. 120° D. 300°
6.函数的大致图象为（　　）
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)+ln x，则f′(2)＝（）
A. B. 1 C. -1 D.
8.若函数f（x）=（2-m）x-lnx-m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （-∞，3）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在空间直角坐标系中，已知A（2，1，1），B（1，3，2），C（3，2，2），则（　　）
A. 点A关于xOz平面对称的点是A′（2，-1，1）
B. 点B关于x轴对称的点是B′（1，-3，2）
C.
D.
10.下列命题是真命题的有（　　）
A. 平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），是平面α的法向量，则u=0，t=1
B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C. 直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D. A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
11.已知函数f（x）=x3+6ax2-2（a∈R），则（　　）
A. 当a=1时，f（x）的单调递减区间为[-4，0]
B. 存在a＜0，使得f（x）有三个零点
C. 当a＞0时，f（x）的极小值点为（0，-2）
D. 当a=0时，曲线y=f（x-1）的对称中心为（1，-2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量=（2，-1，1），=（1，1，2），则= .
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
14.已知函数在定义域内单调递增，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E为B1C与BC1的交点.
（1）用向量表示；
（2）求异面直线AE与A1C所成角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=2lnx-ax2+b在x=1处取得极值1.
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）在[e-1，e]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x-1）2-alnx.
（1）若a=4，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=1，AB=，BC=1，AD=2，M是PD的中点.
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=sinx-在点（0，f（0））处的切线l与直线n：x+y=0平行.
（1）求切线l的方程；
（2）判断f（x）在（0，）上零点的个数，并说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[9，+∞）
15.【答案】
16.【答案】a=1，b=2 最大值为1，最小值为4-e2
17.【答案】单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）
18.【答案】证明见解析； ； 存在，．
19.【答案】解：（1），
所以切线的斜率k=f′（0）=-a,
由题意，可得k×1=-a×1=-1，解得a=1．
所以，所以，
所以切线l的方程为y-1=-1（x-0），即x+y-1=0．
（2）由（1）知a=1，所以，
由，可得ex sinx-x+1=0，
令g（x）=ex sinx-x+1，则g'（x）=（sinx+cosx）ex-1，
当时，sinx+cosx≥1，ex＞1，
所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，
又因为g（0）=1＞0，所以g（x）在上无零点．
当时，令h（x）=（sinx+cosx）ex-1，则h′（x）=2cosx ex＜0，
所以h（x）在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得h（x0）=0，
所以g（x）在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以g（x）在（x0，）上且只有一个零点，
综上所述，f（x）在（0，）上有且只有一个零点．
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