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2025-2026学年北京中学英才班高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知向量，则（　　）
A. B. C. D.
2.设a为实数，复数z1=a-2i,z2=-1+ai,若z1+z2为纯虚数，则|z1z2|=（　　）
A. B. C. D. 3
3.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知α，β，γ是三个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　）
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C. 若a∥α，b α，则a∥b D. 若a∥α，a∥β，则α∥β
5.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：2，则角A等于（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6.北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”.数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（　　）
A. 108π平方分米 B. 144π平方分米 C. 180π平方分米 D. 216π平方分米
7.已知向量，是两个单位向量，则“＜，＞为锐角”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一.全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽.现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm,下底面圆半径为6cm,高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（　　）（参考数据：）
A. 18，10 B. 18，11 C. 19，10 D. 19，11
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：
①三角形PBD1的面积为定值；
②三棱锥D-BPC1的体积为定值；
③异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；
④二面角P-BC1-D的大小为定值.
其中真命题有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.设向量满足，，，则的取值不可能为（　　）
A. B. 3 C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.复数的共轭复数的虚部是 .
12.已知平面向量，是单位向量，与夹角为45°，则向量在向量上的投影向量为 .
13.已知三个不同的平面α，β，γ和一条直线a,给出五个论断：
①a∥β；
②β∥γ；
③a⊥α；
④α⊥β；
⑤α⊥γ.
以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的“若p,则q”的命题 .（可以用序号表示）
14.在《九章算术》中，称如图中的多面体ABCDEF为“刍甍”.若底面ABCD是边长为3的正方形，EF=2，且EF∥AB，△AED和△BFC是等腰直角三角形，∠AED=∠BFC=90°，则FC与底面ABCD所成角的正弦值为 .
15.如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则= ；的最大值是 .
16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为AD的中点，点N是侧面DCC1D1上（包括边界）的动点，点P是线段B1D上的动点，给出下列以下结论：
①存在点N，使得对任意点P，都有MN⊥C1P；
②存在无数组点N和点P，使得C1P∥MN；
③存在唯一的点P，使得B1D⊥平面MPC；
④存在点N和点P，使得平面MNP∥平面A1B1C1D1；
⑤存在点P，使得其到直线CD1的距离为.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知.
（1）若，求；
（2）若，的夹角为120°，求||；
（3）若，求与的夹角为θ.
18.(本小题15分)
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l,平面PAD⊥平面ABCD.
（1）证明：平面EFG∥平面PAB；
（2）求证：BC∥l.
（3）求证：DC⊥PA.
19.(本小题13分)
在△ABC中，.
（1）求∠C；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求c和sinA的值.
条件①：边上中线的长为；
条件②；，AC边上的高BD的长为2.
条件③：b=6，△ABC的面积为12；
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AC的中点，且AC=4，.
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）再从条件①、②这两个条件中选择一个作为已知，
（1）求证：AC1⊥平面A1BD；
（2）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面ACC1A1？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
条件①：AB=BC；
条件②：BD⊥A1D；
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
21.(本小题15分)
设集合S={A1，A2，…，An}，若集合S中的元素同时满足以下条件：
① i∈{1，2，…，n}，Ai恰好都含有3个元素；
② i,j∈{1，2，…，n}，i≠j,Ai∩Aj为单元素集合；
③A1∩A2∩...∩An=
则称集合S为“优选集”.
（1）判断集合P={（1，2，3），（2，4，5）}，Q={（1，2，3），（1，4，5），（2，5，7）}是否为“优选集”；
（2）证明：若集合S为“优选集”，则 x∈A1，x至多属于S中的三个集合；
（3）若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】-1
12.【答案】
13.【答案】若②⑤，则④（或若②④，则⑤，或若①③则④）
14.【答案】
15.【答案】3

16.【答案】②④⑤
17.【答案】2或-2
18.【答案】证明：依题意，以EF∥CD，EG∥PB，
因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD，所以EF∥AB，
EF 平面PAB，AB 平面PAB，所以EF∥平面PAB．
因为EG 平面PAB，PB 平面PAB，所以EG∥平面PAB．
因为EF∩EG=E，EF、EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB 证明：因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD．
因为BC 平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以BC∥l 证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为PA 平面PAD，故CD⊥PA
19.【答案】 选②，，；选③，c=，sinA=
20.【答案】证明：如图，连接AB1与A1B交于点O，连接OD，
因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以O为AB的中点，
又D是棱AC的中点，所以OD∥B1C，
因为OD 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD （1）证明：选择条件①，AB=BC，
由D是棱AC的中点，得BD⊥AC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD 平面ABC，
所以A1A⊥BD．
又A1A∩AC=A，A1A，AC 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥AC1．
因为AC=4，所以AD=2，又，
在Rt△ACC1和Rt△A1AD中，，
所以∠AC1C=∠A1DA，而∠AC1C+∠C1AC=∠A1DA+∠C1AC=90°，
则∠A1DA+∠C1AC=90°，
所以A1D⊥AC1，
又BD∩A1D=D，BD，A1D 平面A1BD，
所以AC1⊥平面A1BD．
选择条件②：BD⊥A1D，
因为AA1⊥底面ABC，BD 平面ABC，所以AA1⊥BD，
又BD⊥A1D，AA1∩A1D=A1，AA1，A1D 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1.又AC1 平面ACC1A1．
所以BD⊥AC1，
因为AC=4，所以AD=2，又，
在Rt△ACC1和Rt△A1AD中，，
所以∠AC1C=∠A1DA，而∠AC1C+∠C1AC=∠A1DA+∠C1AC=90°，
则∠A1DA+∠C1AC=90°，
所以A1D⊥AC1，
又BD∩A1D=D，BD，A1D 平面A1BD，
所以AC1⊥平面A1BD．
（2）当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N⊥平面ACC1A1
21.【答案】（1）解：对于集合P={（1，2，3），（2，4，5）}，
满足条件①：（1，2，3）和（2，4，5）恰好都含有3个元素；
满足条件②：（1，2，3）∩（2，4，5）为单元素集合；
但不满足条件③：（1，2，3）∩（2，4，5）≠ ，则P不是“优选集”；
对于集合Q={（1，2，3），（1，4，5），（2，5，7）}，
满足条件①：（1，2，3），（1，4，5）和（2，5，7）恰好都含有3个元素；
满足条件②：（1，2，3）∩（1，4，5），（1，4，5）∩（2，5，7），（1，2，3）∩（2，5，7）为单元素集合；
满足条件③：（1，2，3）∩（1，4，5）∩（2，5，7）= ．所以集合Q是“优选集”．
（2）证明：由集合S为“优选集”，
结合（1）显然 x∈A1，x可以属于S中的零个集合，一个集合，两个集合，
取集合S={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7}，其中A1=（x,y,z），A2=（x,a,b），A3=（x,c,d），A4=（y,a,c），A5=（y,b,d），A6=（z,a,d），A7=（z,b,c），
此时 x∈A1，x可以属于S中的两个集合，三个集合，
假设存在x∈A1，使得x可以属于S中的四个集合，即x∈A1∩A2∩A3∩B4，其中B4={x,e,f}，
为了满足条件③，显然还存在B5∈S，
为了满足条件②，B5中的元素必须在A1，A2，A3，B4中除x外的另外两个元素中各选一个，
此时B5中有4个元素，显然不满足条件①，
因此假设不成立，
故若集合S为“优选集”，则 x∈A1，x至多属于S中的三个集合；
（3）解：结合（2）有集合S={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7}，其中A1=（x,y,z），A2=（x,a,b），A3=（x,c,d），A4=（y,a,c），A5=（y,b,d），A6=（z,a,d），A7=（z,b,c），此时S的元素个数为7，
假设存在A8∈S，则可得A8中必有元素y或z,
不妨令y∈A8，要使A8∩A1，A8∩A2，A8∩A3都为单元素集合，
则A8=（y,a,c）或A8=（y,a,d）或A8=（y,b,c）或A8=（y,b,d），
当A8=（y,a,c）时，（y,a,c）=A4，舍去；
当A8=（y,a,d）时，（y,a,d）∩A6不是单元素集合，舍去；
当A8=（y,b,c）时，（y,b,c）∩A7不是单元素集合，舍去；
当A8=（y,b,d）时，（y,b,d）∩A5不是单元素集合，舍去，
因此假设不成立，
故集合S的元素个数的最大值为7．
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