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2025-2026学年北京市海淀区清华大学附属中学上地学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={x∈Z||x-1|≥2}，则A∩B=（　　）
A. {0，2，3，4} B. {-2，-1，3} C. {-1，3，4} D. {-1，0，3，4}
2.函数f（x）=x2+c（c∈R）在区间[1，3]上的平均变化率为（　　）
A. 2 B. 4 C. c D. 2c
3.已知向量=（2，-1），=（6，x），且∥，则|2-|=（　　）
A. B. C. 4 D. 5
4.下列不等式中正确的是（　　）
A. 0.50.3＞0.50.2 B. 20.5＞30.5
C. log0.50.3＞log0.50.2 D. log20.5＜log30.5
5.已知，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
6.已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“A=B”是“acosA=bcosB”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
7.已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（　　）
A. {2} B. {8} C. {2，8} D. {2，8，14}
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,A=60°，bc=6sinBcosC，，则△ABC的面积为（　　）
A. 1 B. C. D.
9.已知函数f（x）在定义域[-3，3]上单调递减，且函数y=f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，不等式f（2t2-t）+f（-3t）＞0的解集为（　　）
A. （0，2） B. （0，1] C. D.
10.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则2λ-μ的取值范围是（　　）
A. [-2，2） B. [-1，1] C. [-1，0] D. [0，2]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A（1，a）（a∈Z）在角θ终边上，且|OA|≤3，则tanθ的值可以是 .（写一个即可）
12.平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是 .
13.已知函数f（x）=x3+x2f′（0）-x,则f（1）+f′（1）= .
14.设函数f（x）=
（1）如果f（1）=3，那么实数a= (1) ；
（2）如果函数y=f（x）-2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是 (2) ．
15.已知函数f（x）=alnx-（x-1）2（a∈R）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），给出下列四个结论：
①函数f（x）有零点；
②a的取值范围是；
③x2＞1；
④f（x2）＞0．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x的值.
17.(本小题14分)
已知函数f（x）=（ax-1）ex.
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[-1，2]上的最值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间.
18.(本小题14分)
为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W（x）万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
19.(本小题14分)
在△ABC中，csinB-bsin2C=0.
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若a=2，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件的△ABC有两个，求这两个三角形的面积.
条件①：b=4；
条件③：sinA=；
条件③：c=.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题15分)
已知函数f（x）=ln（1-x）.
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x∈（-∞，0）时，；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞kx2-x对x∈（-∞，0）恒成立，求k的取值范围.
21.(本小题15分)
给定正整数n≥2，设集合M={α|α=（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}.对于集合M中的任意元素β=（x1，x2，…，xn）和γ=（y1，y2，…，yn），记β γ=x1y1+x2y2+…+xnyn.
设A M，且集合A={αi|αi=（ti1，ti2，…，tin），i=1，2，…，n}，对于A中任意元素αi，αj，若则称A具有性质T（n,p）.
（Ⅰ）判断集合A={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T（3，2）？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质T（4，p）的集合A，并加以证明；
（Ⅲ）若集合A具有性质T（n,p），证明：t1j+t2j+…+tnj=p（j=1，2，…，n）.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】2（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】-1
14.【答案】-2或4 ； （-1，3]
15.【答案】①④
16.【答案】最小正周期T=π，单调递减区间为 函数f（x）最小值为，此时x=0；函数f（x）最大值为2，此时
17.【答案】（I）最小值为-1，最大值为e2 （Ⅱ）当a=0时，单调递减区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，单调递减区间为，单调递增区间为；当a＜0时，单调递增区间为，单调递减区间为
18.【答案】．
当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元
19.【答案】 满足条件①的三角形有且只有1个，不符合题意；满足条件②或③的三角形有两个，这两个三角形的面积分别为和
20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ln（1-x），得，
则，又f（0）=ln1=0，
所以切线方程为y=-x；
（Ⅱ）令，
则，
由x＜0，可得F′（x）＜0，故F（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（-∞，0）时，．
（Ⅲ）当时，，
由（Ⅱ）知，当x∈（-∞，0）时，，
所以当时，f（x）＞kx2-x对x∈（-∞，0）恒成立；
当时，令h（x）=ln（1-x）-kx2+x,
则，
当k≥0时，因为x∈（-∞，0），所以h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）上单调递增，
h（x）＜h（0）=0，不合题意，
当时，由h′（x）=0，得，
当时，时，h′（x）＞0，
所以h（x）在上单调递增，则时，h（x）＜h（0）=0，不合题意，
综上，k的取值范围是．
21.【答案】解：（Ⅰ）∵（1，1，0） （1，1，0）=1×1+1×1+0×0=2，同理可得（1，0，1） （1，0，1）=（0，1，1） （0，1，1）=2，
而（1，1，0） （1，0，1）=1×1+1×0+0×1=1，同理可得（1，1，0） （0，1，1）=（1，0，1） （0，1，1）=1，
∴集合A={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}具有性质T（3，2）；
（Ⅱ）当n=4时，集合A的元素有4个，由题可知p∈{0，1，2，3，4}，
假设集合A具有性质T（4，p），
则①当p=0时，A={（0，0，0，0）}，矛盾；
②当p=1时，A={（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，不具有性质T（4，1），矛盾；
③当p=2时，A={（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，
∵（1，1，0，0）和（0，0，1，1）至多一个在A中；（1，0，1，0）和（0，1，0，1）至多一个在A中；
（1，0，0，1）和（0，1，1，0）至多一个在A中，故集合A的元素个数小于4，矛盾；
④当p=3时，A={（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，不具有性质T（4，3），矛盾；
⑤p=4时，A={（1，1，1，1）}，矛盾，
综合可得：不存在具有性质T（4，p）的集合A；
（Ⅲ）证明：设cj=t1j+t2j+ tnj（j=1，2，…，n），则c1+c2+ +cn=np,
若p=0，则A={（0，0，…，0）}，矛盾；
当p=1时，A={（1，0，0，…，0）}，矛盾，故p≥2，
假设存在j使得cj≥p+1，不妨设j=1，即c1≥p+1，
当c1=n时，有cj=0或cj=1（j=2，3，…，n）成立，
∴α1，α2， ，αn中分量为1的个数至多有n+（n-1）=2n-1＜2n≤np,
当p+1≤c1＜n时，不妨设t11=t21=…=tp+1，1=1，tn1=0，
∵αn αn=p,∴αn的各分量有p个1，不妨设tn2=tn3= =tn,p+1=1，
由i≠j时，αi αj=1可知： q∈{2，3， ，p+1}，t1q，t2q， tp+1，q中至多有一个1，
即α1，α2， αp+1的前p+1个分量中，至多含有p+1+p=2p+1个1，
又αi αn=1（i=1，2，…，p+1），则α1，α2， αp+1的前p+1个分量中，
含有（p+1）+（p+1）=2p+2个1，矛盾，
∴cj≤p（j=1，2，…，n），∵c1+c2+ +cn=np,
∴cj=p（j=1，2，…，n），
∴t1j+t2j+ +tnj=p（j=1，2，…，n）．
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