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2025-2026学年安徽省六安市第二中学河西校区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.计算=（　　）
A. 42 B. 36 C. 21 D. 20
2.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（　　）
A. 6种 B. 30种 C. 5种 D. 11种
3.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（　　）
A. 27 B. 36 C. 54 D. 81
4.已知随机变量X的分布列如下：
X -1 0 1 2
P n
则E（3X+1）=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 3
5.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中不正确的是（　　）
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A. 由题中数据可知，变量y与x正相关
B.
C. 当x=8时，y的预估值为2.1
D. 去掉样本点（3，1）后，x与y的样本相关系数r必会改变
6.设A，B为两个事件，已知P（B）=0.4，P（A）=0.5，P（B|A）=0.3，则=（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字1所对应的位置出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则2025秒后质点最有可能落在数轴上（　　）所对应的位置.
A. 675 B. 676 C. 1035 D. 1036
8.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（38，72），从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（　　）
参考数据：若P（Z）～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974
A. 若8：00出门，则开私家车不会迟到
B. 若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C. 若8：06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“没有出现3点”，事件B为“至少出现一次5点”，事件C为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（　　）
A. A与B不互斥 B. C. D.
10.若，则（　　）
A. a0=2
B. a0+a1+a2+…+a2024=2
C.
D.
11.对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N.给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x+5）的展开式中，含有x4的项的系数是 .
13.已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E（X）=3，则D（3X+1）= .
14.3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船但小孩不能单独乘一只船，这5人共有 种乘船方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下2×2的列联表
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 22
女生 10
合计 48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
附，n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数.
（1）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；
（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本.（注意：请写出式子再写计算结果）
17.(本小题15分)
袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量X.
（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
（2）求X的分布列和期望.
18.(本小题17分)
小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有A、B两家餐厅，已知他第一天选择A食堂的概率为，而前一天选择了A食堂后一天继续选择A食堂的概率为，前一天选择B食堂后继续选择B食堂的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择A食堂就餐的概率；
（2）记该同学第n天选择A食堂就餐的概率为Pn；
①证明：为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m取值范围.
19.(本小题17分)
我校数学IMATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负责，已知该社团共有n位学生，每次活动均需该社团k位学生参加（n和k都是固定的正整数）.假设乐舒老师和艳菲老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位学生，且所发信息都能收到.记该社团收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为X.
（1）若该社团有n=5位学生，每次活动选择k=2位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率；
（2）求该社团学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率；
（3）求使P（X=m）取得最大值的整数m.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】-5
13.【答案】18
14.【答案】27
15.【答案】列联表如下：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 22 6 28
女生 10 10 20
合计 32 16 48
能，理由如下：
零假设为H0：喜爱打篮球与性别无关，
则，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05
16.【答案】60 60 360
17.【答案】解：（1）记事件A=“第二次取出的是黑球”，事件B=“第三次取出的是红球”，
事件A可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，
所以，
事件AB=“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球”，
可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球“两种情况，
故，
所以第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率为：
；
（2）根据题意可得X可能的取值为3，4，5，
当X=3时，前三次分别取出1个红球、1个黑球和1个白球，
，
当X=5时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，
，
当X=4时，，
所以X的分布列为：
X 3 4 5
P
所以．
18.【答案】 ①证明：设An为“第n天选择A食堂”，则Pn=P（An），，
根据题意，，
由全概率公式得：，
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
②
19.【答案】 当（k+1）2能被n+2整除时，故P（X=m）在和处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=m）在处达到最大值．（注：[x]表示不超过x的最大整数）
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