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2025-2026学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.求值：sin105°=（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量，则m=2是的（　　）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.已知3sinα+5cosα=Asin（α+φ），则（　　）
A. B.
C. D.
4.已知，则tanα=（　　）
A. B. C. 5 D. -5
5.若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|=（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，点E在AD上，且AE=2ED，则=（　　）
A. B. C. D.
7.若角，则cosβ=（　　）
A. B. C. D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（　　）
A. [-10，2] B. [-18，6] C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法不正确的是（　　）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若 ＜0，则＜，＞为钝角
C. 若|+|=|-|，则⊥
D. 若∥，则存在唯一的实数λ使得=λ
10.已知，其中α，β为锐角，则（　　）
A. B.
C. D.
11.已知两个非零向量的夹角为θ，定义运算.设，则（　　）
A.
B. 在上的投影向量的模为
C. ，均有
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则与的夹角为 .
13.若cosα=，且α∈（0，），则tan=______．
14.如图正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD上的点，若P为AB的中点且，则tan∠PCQ= ；若△APQ的周长为2，则∠PCQ的大小为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，且.
（1）求；
（2）求与的夹角.
16.(本小题15分)
已知平面向量，函数.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若锐角α满足，求的值.
17.(本小题15分)
如图，在扇形POQ中，半径OP=2，圆心角是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.其中CD在半径OQ上，记∠BOC=α.
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值.
18.(本小题17分)
如图1，在△ABO中，∠AOB为直角，与BC相交于点M，连接OM，记.
（1）用表示向量；
（2）设，求m,n的值；
（3）如图2，过点M的直线与边OA、OB分别交于点E、F，设（λ，μ均为非零实数），求的值.
19.(本小题17分)
我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量，则把实数对（x,y）叫作向量的“广义坐标”，记.已知向量的“广义坐标”分别为（2，1），（-1，2）.
（1）求的“广义坐标”；
（2）求向量与的夹角的余弦值；
（3）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy′，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】0
16.【答案】
17.【答案】 当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
18.【答案】
19.【答案】（3，4）；
；
（2，4）．
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