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2025-2026学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.sin72°cos42°-sin42°cos72°的值为（　　）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，AB=1，AC=，∠BAC=45°，则BC=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
3.已知，且α为第二象限角，则sin2α的值等于（　　）
A. B. C. D.
4.（理）已知向量||=1，||=2，=+，⊥，则与的夹角大小为（　　）
A. B. C. D.
5.设a=cos6°-sin6°，b=，c=，则有（　　）
A. a＞b＞c B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. a＜c＜b
6.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
7.已知tanα、tanβ是关于x的方程2x2+mx-4=0的两根，且，则m的值为（　　）
A. 6 B. -6 C. 5 D. -5
8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（　　）
A. 2
B. 4
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则（　　）
A.
B. 若∥，则
C. 若，则
D. 若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,以下判断正确的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若sin2A+sin2B-sin2C＜0，则△ABC是钝角三角形
C. 若，，A=30°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰直角三角形
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2bcosC+2ccosB=3，3sin（B+C）=2sin2，则（　　）
A. B.
C. bc的最大值为 D. △ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值sin75°=______．
13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，则△ABC面积为 .
14.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=2.若点E为边CD上的动点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，，点E是AB的中点，连接DE，AC，记它们的交点为G，设，.
（1）用，表示，；
（2）求的余弦值.
16.(本小题15分)
已知，.
（1）求tanθ的值；
（2）若tanβ=3，，求角θ+β的大小.
17.(本小题15分)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知bcosC=（2a-c）cosB.
（1）求B；
（2）若b=4，求△ABC周长的最大值.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求不等式f（x）≥3在（0，π）上的解集；
（3）对于任意的，关于x的不等式mf2（x）+m-f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP=α，
（1）请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
（2）若.
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记（其中x,y∈R），求x+2y的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】解：（1）因为，，
所以，，tanθ==2．
（2）因为，
因为，，所以θ+β∈（0，π），
所以．
17.【答案】 12
18.【答案】T=π；
19.【答案】解：（1）过点P作OA的垂线，垂足为D，
在Rt△PDO中，|PD|=sinα，|OD|=cosα，
在Rt△PDC中，|PD|=|CD|tanθ，
则，
所以，
所以=；
（2）①若，由题意可得，
所以平行四边形OCPQ的面积
=
=，
由于，
故当时，即时，S（α）取得最大值为；
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则，即，
又∠POC=α，
则，
因，即，
则，，
解得：，，
所以，
由点P是弧上一动点，则，
则，
所以，即x+2y∈（1，2），
所以x+2y的取值范围为（1，2）．
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