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2025-2026学年江苏省无锡市第三高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.已知函数f（x）满足f（x）=2f'（1）lnx+（f'（x）为f（x）的导函数），则f（e）=（　　）
A. e-1 B. C. 1 D.
3.将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（　　）
A. 81种 B. 12种 C. 7种 D. 256种
4.若函数f（x）=xlnx-a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
5.从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1） ex的极值点，则f（x）的极小值为（　　）
A. -1 B. -2e-3 C. -e D. 1
7.（x-2y）（2x-y）5的展开式中的x3y3系数为（　　）
A. -200 B. -120 C. 120 D. 200
8.定义在上的函数f（x），已知f′（x）是它的导函数，且恒有cosx f′（x）+sinx f（x）＜0成立，则有（　　）
A. f（）＞f（） B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于二项式的展开式，下列结论正确的是（　　）
A. 各项系数之和为0 B. 二项式系数的最大值为
C. 不存在常数项 D. x的系数为-28
10.某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　）
A. 5人中选出四个人安排到四个社区，每个社区都有人，则不同方法数为120
B. 每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C. 每人都只安排到一个社区，如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D. 每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126
11.已知函数f（x）=x（lnx-ax），则（　　）
A. 当a≤0或时，f（x）有且仅有一个零点
B. 当a≤0或时，f（x）有且仅有一个极值点
C. 若f（x）为单调递减函数，则
D. 若f（x）与x轴相切，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则x的值为 .
13.已知，则= .
14.已知函数，若f（x）≥0恒成立，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某种产品的加工需要经过A、B、C、D、E共5道工序.
（1）如果A工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果工序B和C工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果A和B工序相邻，C和D不能相邻，那么有多少种加工顺序？
16.(本小题15分)
已知的展开式中，所有二项式系数的和为256.
（1）求n的值，并求展开式中第5项的二项式系数；
（2）求展开式中所有的整式项；
（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.
17.(本小题15分)
有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，求a的取值范围；
（3）若恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=-lnx+x+1，g（x）=aex++ax-2a-1，其中a＞0.
（1）若a=1，求函数g（x）在[1，3]上的值域；
（2）若 x∈（0，+∞），g（x）≥f'（x）恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】2或3
13.【答案】8088
14.【答案】[1，+∞）
15.【答案】96；
36；
24．
16.【答案】n=8，展开式中第5项的二项式系数为70 256 x8，1792x5，1120x2 1792
17.【答案】解：（1）根据题意，设事件Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），事件B=“零件为次品”，
则P（A1）=0.2，P（A2）=0.7，P（A3）=0.1，
P（B|A1）=0.02，P（B|A2）=0.01，P（B|A3）=0.03，
故P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=0.2×0.02+0.7×0.01+0.1×0.03=0.014；
（2）根据题意，P（A1|B）===，
P（A2|B）===，
P（A3|B）===，
因为>>，
故如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大．
18.【答案】y=（e-1）x．
a∈[1-e，+∞）．
a∈（-∞，1]
19.【答案】解：（1）若a=1，则，，
故当x∈[1，3]时，g'（x）＞0，函数g（x）在[1，3]上单调递增，
故g（x）min=g（1）=e-1，，
g（x）的值域为．
（2）令，x＞0，a＞0，
于是．
令p（x）=aex x2-（a+1），则p'（x）=aex x（x+2）＞0，
即p（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵p（0）=-（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，
∴ x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．
当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h'（x）＜0，此时h（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h'（x）＞0，此时，h（x）单调递增；
∴．①
由p（x0）=0可得，整理得，②
代入①中，得，
由 x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f'（x），转化为，③
因为a＞0，③式可以化为，整理得，解得．
再由x0＞0，于是0＜x0≤1．由②可得．
令，则根据p（x）的单调性易得φ（x0）在（0，1]上是增函数，
∴φ（0）＜φ（x0）≤φ（1），即，得．
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