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广东清远市博爱学校2025-2026学年第二学期高二第二次教学质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A．13 B．16 C．23 D．26
2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．已知函数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．以下求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
7．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，函数恰有两个不同的零点，则的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．摸球两次，恰有一个是红球的概率为
11．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ）
0 1 2
P
A． B．的值最大
C．随着p的增大而增大 D．当时，
三、填空题
12．已知随机变量的分布列如下表所示，若，则_________．
13．已知为奇函数，当时，，则曲线在点（1，2）处的切线方程是___________.
14．已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为______．
四、解答题
15．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．
(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
(2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)判断的零点个数，并说明理由.
17．某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别 足球 合计
喜欢 不喜欢
男生 30 20 50
女生 10 20 30
合计 40 40 80
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？
(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)当时，求证：；
(3)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围.
19．现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《广东清远市博爱学校2025-2026学年第二学期高二第二次教学质量监测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A A B A AC AC
题号 11
答案 AD
12．/ 13． 14．.
15．【详解】（1）从1，3，5中选一个填入个位，有种，
剩余四个位置全排列，有种，
故共有个．
（2）3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有种，
其他位置进行全排列，有种，
故共有个．
16．【详解】（1）由，求导得：，
当时，，当或时，，
所以在,上单调递减，在上单调递增;
（2）由得，，根据（1）的单调性结合极小值点，
可作出函数图象，
所以当，即时，可判断的零点个数为2；
当或，即或时，可判断的零点个数为1；
当，即时，可判断的零点个数为0，
综上可得：当时，的零点个数为2；
当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1.
17．【详解】（1）零假设为：喜欢足球与性别之间无关联.
根据列联表，由得，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球与性别之间有关联.
（2）在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为
且，
则的分布列为
1 2 3
则
18【详解】（1）由题可得，
∵曲线在处的切线方程为，
∴，即，
∴．
（2）证明：令，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，
∴，
∴．
（3）∵对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，
令，，
则，
由（2）可知当时，恒成立，
令，可得；令，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
∴实数k的取值范围为．
19．【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况，
对应的概率分别为，，，
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
（2）根据全概率公式得，
即，
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
因为，所以，
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．
答案第1页，共2页
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