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2025-2026学年安徽师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若向量，，则=（　　）
A. （-2，3） B. （0，1） C. （-1，2） D. （2，-3）
2.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（　　）
A. 45°或135° B. 135° C. 60° D. 45°
3.复数z=（3-4i）i3的虚部为（　　）
A. -4i B. -3i C. -3 D. -4
4.下列命题中正确的是（　　）
A. 若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B. 若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
5.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|=8km/h，水流速度v2的大小为|v2|=2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A. 船头方向与水流方向垂直 B. cos＜v1，v2＞=-
C. |v|=2km/h D. 该船到达对岸所需时间为3分钟
6.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A′B′C′D′，其中A′B′∥C′D′，A′B′⊥B′C′，A′B′=4，D′C′=2，以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体的表面积（　　）
A. B. C. D. 56π
7.已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为（-2，-4），在上的投影向量的坐标为（4，2），则=（　　）
A. 20 B. C. 10 D.
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为棱PD，PC上的点，，若BF∥平面AEC，则=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
10.下列关于非零复数z1、z2的结论正确的有（　　）
A. 已知z1 z2∈R，则z1、z2不一定为共轭复数
B. 若|z1|=|z2|，则
C. 若z=m+1+（m-1）i（m∈R）为纯虚数，则|z|=2
D. 在复平面内对应的点为Z1，且满足，则点Z1所在的区域的面积为3π
11.已知正三棱台ABC-A1B1C1，上底面A1B1C1边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内（包含边界）运动，且，Q为CC1上一点，且，则下列说法正确的是（　　）
A. 正三棱台ABC-A1B1C1的高为
B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内
C. 点P的轨迹长度为
D. 过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长2cm的正方体），用来展示NaCl晶体中Na+的八面体配位环境：CI-位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的Na+，则该正八面体CI-配位多面体模型的体积是 cm3.
13.某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知AB=BF=1，P为等腰梯形HICD内一点（含边界），则的取值范围为 .
14.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,该三角形面积大小记为S，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（1，2），=（2，-2）．
（1）设=4+，求（ ）；
（2）若+λ与垂直，求λ的值．
16.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2+b2-c2=-ab,且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求a+2b的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，△OCD等边三角形，且点A，B分别为线段OD与OC的中点.将△OAB沿AB折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP.
（1）证明：AP∥平面BED；
（2）求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDE的体积之比.
18.(本小题17分)
如图在直角梯形ABCD中，，BC=CD=2，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.
（1）求向量与夹角α的余弦值；
（2）若向量，求实数x,y的值；
（3）求向量与的夹角的最大值.
19.(本小题17分)
如图所示，△ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上.设，，.
（1）用，表示，，；
（2）如果∠ACB=60°，AC=12海里，且CD⊥EF，求岛屿C到补给站D的距离；
（3）若三个岛屿围成的△ABC的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】[6，14]
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，-2），
∴=4+=（4，8）+（2，-2）=（6，6），
∴（ ）=（12-12）==．
（2）=（1+2λ，2-2λ），
∵+λ与垂直，
∴1+2λ+2（2-2λ）=0，
解得．
16.【答案】，
17.【答案】如图，连接AC交BD于点F，连接EF，
因为点A，B分别为线段OD与OC的中点，
所以AB∥CD，CD=2AB，
所以AF：FC=AB：CD=1：2，
又因为CE=2EP，
所以PE：CE=AF：CF=1：2，
所以AP∥EF，
因为EF 面BDE，
所以AP∥面BDE 9：2
18.【答案】 ，
19.【答案】， 12公里
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