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辽宁大连市王府高级中学2025-2026学年高一下学期第二学段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A． B． C． D．
10．下列命题中，正确的是( )
A．若向量，则与的夹角为
B．若非零向量与的夹角为，则” “是”为锐角”的充分不必要条件
C．若平面向量，，，若，则的最小值为
D．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为
11．下列说法正确的有（ ）
A．
B．已知，则
C．
D．在中，角的对边分别为，若，则
三、填空题
12．求值:______．
13．如图，已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的体积为______．

14．函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为奇函数，则的最小值为______．
四、解答题
15．已知复数
(1)若，求实数的值；
(2)若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.
16．设．
(1)若，求实数的值；
(2)若，且，与的夹角为，求实数的值．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求．
(2)若，且 边上的中线长为，求的面积．
(3)若角的平分线长为，求的面积的最小值．
18．位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇．
(1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？
(2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？
(3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小．
19．已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值．
(3)在锐角中，若，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《辽宁大连市王府高级中学2025-2026学年高一下学期第二学段考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D A B A A BC ACD
题号 11
答案 ABD
12．. 13． 14．4
15．【详解】（1）由题意得，，
，；
（2）由题意得，
复数对应的点在第四象限，，所以，
故的取值范围为.
16．【详解】（1）已知，
计算得：，
由两向量垂直则数量积为0，
得：，解得；
（2）已知，根据条件列方程：
由，对模长平方得：①；
由向量夹角公式，时，
代入，得：，
化简得：②；
将②代入①，得，解得，即或；
当时，代入②得；
当时，代入②得；
因此最终解为：或.
17．【详解】（1）由余弦定理，又，
代入可得： ，
又，故
（2）
记边上的中线为，则，
在中，由余弦定理得，
化简可得：，解得或（舍），
所以.
（3）
设角平分线交于，，
由得：
，
化简得 ，由基本不等式得，
解得： ，当且仅当 时等号成立，
故面积最小值.
18．【详解】（1）
货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度，
由题意得 海里，，最短航行距离海里，
此时货轮行驶路程 海里，行驶时间小时，
故快艇航速海里/时；
（2）经过1小时，货轮行驶路程 海里，
在 中， ，，
由余弦定理得：
，
故海里，
故快艇航速海里/时；
（3）设相遇时间为 ，在中 ，
由余弦定理得： ，
整理得，
若 且，则 ，
代入得： ，
仅当 时等号成立，此时海里/时，符合最高航速限制，
设航行方向为北偏西 ，即，
则，
得，
即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时.
19．
【详解】（1）可知
，
所以函数的最小正周期为，
可知，解得，
即函数的单调增区间为.
（2），
因为，所以，所以，
可知.
（3），因为为锐角三角形，所以，
则，所以，解得，
则
方法一：因为，
令，，
则，
因为因为为锐角三角形，，
所以，所以，
所以，
当时，即时，
取最大值，最大值为，
当趋近时，，
当趋近时，，
所以的取值范围为.
方法二：因为为锐角三角形，所以，即，即，
所以
，
因为，所以，即，解得，所以，
令，其中，
设，则
，
可知，
令，即，即，
得，
可知当时，，此时满足，即，
即当时，此时，即在上函数单调递增，
当时，此时，即在上函数单调递减，
当时，，
当时，，
可知，所以当时，，
所以，即，
即的取值范围为.
答案第1页，共2页
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