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广西壮族自治区柳州市来宾实验高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设一组数据的方差为1，则数据的方差为（ ）
A．3 B．5 C．9 D．13
2．某学校高一年级有男生480人，女生660人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出19人，则男生比女生少选（ ）．
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
3．已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
6．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
A．5 B． C．2 D．1
7．已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．与的夹角为45°
B．当时，
C．当时，与方向相反
D．当时，与组成平面内的一组基底
10．2021年广西新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一.政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件 “他选择化学和生物”，事件“他选择其中一门课程是化学”，则（ ）
A． B．与对立
C． D．
11．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
三、填空题
12．______．
13．已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______．
14．已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______．
四、解答题
15．不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为．
(1)求袋子中绿球的个数；
(2)若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率．
16．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，且．
(1)求A；
(2)若，求的面积；
(3)求．
19．如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点.
(1)求四棱锥的体积.
(2)在棱上是否存在点G，使得平面平面 若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)若H是棱的中点，求二面角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《广西壮族自治区柳州市来宾实验高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（6）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D B C A AD AC
题号 11
答案 BC
12． 13． 14．/
15．【详解】（1）袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球，
则绿球被取出的概率为．
由题可知，解得，
故袋子中绿球的个数为2．
（2）由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为，
且2次取出的球的颜色相互独立．
第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为；
第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为．
故2次取出的球的颜色不同的概率为．
16．(1)平面，平面，．
是圆O的直径，C为圆上一点， ．
又，且平面，平面．
平面，平面平面.
（2）如图所示，过点作于点，
平面，平面，，
又，平面，平面．
即为直线与平面所成角．
，，可得．
.
即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为．
17．【详解】（1）由，解得.
该校高三学生期初数学成绩的平均数为.
前3组的频率和为，所以分位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为
的有人，记为，
从6人中任取2人，基本事件有，共15种，
其中2人分数都在的有共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
18．【详解】（1）因为，所以．
又因为，所以．
因为A为锐角，所以．
（2）由（1）知．
由正弦定理得，
所以
（3）由余弦定理得，
整理得，
所以．
因为，所以
19．
【详解】（1）连接.
因为四边形是边长为4的菱形，，
所以为边长为4的等边三角形.
因为是线段的中点，所以，所以.
因为是边长为4的等边三角形，且是线段的中点，所以，且.
因为，，所以，所以.
因为平面，平面，且，所以平面，
则四棱锥的体积为.
（2）存在满足条件的点，此时.
理由如下：
连接，记，，连接，，，.
因为E，F分别是棱，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为四边形是菱形，所以是的中点，所以.
因为，且是棱的中点，所以，所以.
若平面平面，平面与平面与平面分别相交于直线,
故，所以，故，
所以在棱上存在点G，使得平面平面，且.
（3）连接.
在中，由余弦定理可得.
由（1）可知平面，且平面，所以.
因为，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以，则.
因为，，且为棱的中点，
所以.
因为，，，所以，所以.
作，垂足为M，则，解得.
设点到平面的距离为.
因为，即,
则，
所以，解得.
设二面角的大小为，则，
即二面角的正弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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