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河北唐山市第二中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ）
A．15 B．18 C．27 D．30
3．已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．或7
4．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是
A．中位数为，平均数为 B．中位数为，平均数为
C．中位数为，平均数为 D．中位数为，平均数为
7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在空间中，为两个定点，且 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角为，当，时，异面直线 和所成角正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．正四棱柱的侧面都是正方形
B．棱台的侧棱延长后交于一点
C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D．四面体的每个侧面都是等边三角形
10．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．的最小值为
D．三棱锥内切球的半径是
三、填空题
12．已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________.
13．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．
14．已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知向量，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
(2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
17．如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥.

(1)证明：；
(2)若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
(3)求点到平面的距离 ．
19．如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.

(1)已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积；
(2)求的最小值.
试卷第1页，共3页
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《河北唐山市第二中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C C C D D BC AC
题号 11
答案 ACD
12．6 13． 14．
15．【详解】（1）由向量，得，且，
由与的夹角为，得，解得，则 ，
于是，所以.
（2）由（1）知向量，
则，
由与的夹角为锐角，得且与不共线，
由，解得且，
所以实数的取值范围为.
16．【详解】（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x，则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
17．【详解】（1）取的中点为，连接、，由为菱形，所以，，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以；

（2）过点作于点，连接，
由（1）平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
由（1）可知，，
所以为二面角的平面角，
所以，
在中，，，所以，
又，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)连接交于点，连接，
则正三棱柱中是平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
所以，平面， 平面，
所以平面.
(2)因为为正三角形，为的中点，所以．
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（3）过作，垂足为，
由题意可得，，，
所以，所以，
所以的面积，
因为正三棱柱中，平面 平面，
又平面 平面，平面，且，
所以平面，
即到平面的距离为，
又的面积，
所以，
又，
所以，解得，
所以点到平面的距离为.
19．【详解】（1）（ⅰ）由题意得，
，
因为，，
所以，
，
所以，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，
在中，，
所以，
又，所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
由（1）得，
故，
令，
因为，所以，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
答案第1页，共2页
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