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江苏省南通中学2025-2026学年度第二学期期末教学质量调研卷高二数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
6．正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．
10．已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知直线（其中与双曲线C：的上支相交于两点，为线段的中点.过点斜率为的两条直线分别与双曲线相交于两点.则下列结论中正确地是（ ）
A．点的坐标满足.
B．方程表示的图形是直线和直线
C．直线与直线始终保持平行
D．直线恒过某个定点
三、填空题
12．的展开式中，常数项为________．
13．已知函数，若，则的最大值为________.
14．随机将1，2，…，（，）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记.当时，的数学期望______；若对任意，恒成立，则c的最小值为______.
四、解答题
15．如图，正四棱柱中，为的中点，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
16．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
17．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
18．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和.每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为，求的分布列；
(3)求检测器检测到两个“1指向”光子的概率.
19．我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，．
(1)若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；
(2)若存在自映射区间，
①求的取值范围；
②求证：，且的长度．
试卷第1页，共3页
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《江苏省南通中学2025-2026学年度第二学期期末教学质量调研卷高二数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D B D D D BCD BCD
题号 11
答案 ABC
12． 13．2 14． 2
15．(1)证明：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取；
设平面的法向量为，则，取；
因为，即，
所以平面平面；
（2）设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
16【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
17．【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.由已知得，即.
所以的标准方程为，的标准方程为.
18．【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”，
事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，，
由条件概率公式，；
（2）由题意：，1，2.
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
（3）设事件“检测器检测到两个“1指向”光子”，
事件“发射器发射了个“1指向”光子”，
由（2）知：，，，
则，，，
由全概率公式，得：
.
19．【详解】（1）因为恒成立，则在上单调递增，
若存在自映射区间，则，
即方程，即至少有两个不同实数解．
则的解集为，所以区间的选择共有种．
若，共有6种选择，
所以区间的长度的概率为．
（2）①因为在上单调递增，
若存在自映射区间，则，
即至少有两个零点，
因为时，单调递增；
时，单调递减；
若要存在两个零点，则，即．
此时，使得．
因为当时，，即函数单调递减，
所以，又，
所以，则，使得．
所以的取值范围为．
②因为，所以，
下证：．记，
则，
则在上单调递增，则，即，
即，所以．
所以，所以．
记，则，
时，单调递减；时，单调递增；
所以，即，
则，即，同理
因为函数的，且对称轴为，
则方程存在两根，且，
又，且，所以，
则，
所以区间的长度．
答案第1页，共2页
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