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天津市第四十七中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段测试数学试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，取值如下表：
0 1 3 4
2.2 4.3 4.8 6.7
若，具有线性相关关系，且回归方程为，则当时的残差为（ ）
A． B． C． D．
3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是(　　)
A． B． C． D．
5．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
7．已知函数则下述关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
9．定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为
A． B．
C． D．
二、填空题
10．若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______.
11．下列说法正确的是____________．
①某项测量结果服从正态分布，若，则；
②若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为；
③在回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好；
④根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于．
12．学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______.
13．已知，，且则的最小值为____________．
14．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________．
15．已知，若存在实数，满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于的方程在等于时均无解．则的取值范围是___________．
三、解答题
16．某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对其中的3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大；
(2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙的得分为Y，求Y的分布列和数学期望．
17．如图，在多面体中，底面为正方形，平面，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接交y轴于点P.如果时，求直线l的方程.
19．已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，．
(1)求、的通项公式；
(2)求；
(3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：．
20．已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
参考答案
1．D
【详解】，
.
故选：D.
2．B
【详解】先计算样本中心点的坐标：
由于回归直线必过样本中心点 ，代入得
解得 ,
当 时，代入回归方程得预测值：,
根据残差的定义，残差为实际观测值减去预测值，即
3．A
【详解】由“”是“”的必要不充分条件，
得集合是集合的真子集，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
4．A
【详解】由题意设这个班有人，
则数学不及格有人，语文不及格有人，都不及格的有人，
则数学不及格的人里头有人语文不及格，
∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为，故选A．
5．D
【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取，
此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个，
当选出的两个偶数不含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法，
构成的三位数有个，
所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为.
6．B
【详解】因为函数，
所以，因此函数为奇函数，
所以化为，
又在上恒成立，因此函数恒为增函数，
所以，即，解得.
故选:B
7．A
解：∵，
∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴.
∵，
∴，
故选：A.
8．C
【详解】根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
9．B
【详解】令，则，
∵，即，∴恒成立，∴g(x)在R上单调递增，
又，∴不等式，
∴不等式的解集为，故选B
10．
【详解】由题意可得，故，
故展开式的第四项为,
故系数为，
故答案为：
11．①③④
【详解】已知，正态分布曲线的对称轴为，
和关于对称轴对称，
根据正态分布的对称性，有，
已知，且总概率为，
所以 ，
因此，，①正确；
设原数据的方差为，新数据为，
根据方差的性质，
新数据的方差，
题目中称方差为，与计算结果不符，②错误；
决定系数的计算公式为，
对于给定的样本数据，总平方和是一个定值，
因此，的值越大，意味着的值越小，即残差平方和越小，
残差平方和越小，说明观测值与回归模型的拟合程度越高，回归效果越好，③正确；
已知，临界值，因为，
所以在小概率值的水平上拒绝零假设（即认为与独立），
从而判断 与有关联（基于），则错误地拒绝它的概率不超过 ，
即推断与有关联时，犯错误的概率不大于，④正确.
12．
【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件，
该选手晋级为事件，
由条件可知，，，，，，，
所以；
所以他能晋级的概率为；
，
所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为.
13．
【详解】已知，，且，
则，故，
令，则，代入得，解得，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
因此的最小值为.
14．
【详解】由于数列的前项和满足，
当时，，解得；
当时，有和，两式相减得，
由于，代入后化简得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即，
根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即，
令，则有，
由于，
因为当时，，当时，，当时，，
所以当时，；当时，；当时，，
因此数列的最大值为，所以，
则实数的取值范围是.
15．
【详解】当时，，
当时，，
则值域为；
若，则可化为，方程恒无解；
若，则可化为，
则要使得该方程无解，需使，即，
即关于的方程必须恰有两个不同的非零实根；
令，
作出其图象如下：
当或时，，
由对勾函数性质可得在、上单调递增，在上单调递减，
有，；
当时，，
则在上单调递减，此时；
故要使得关于的方程恰有两个不同的非零实根，
此时的取值范围是.
16．(1)甲通过初试的可能性更大
(2)分布列见解析，15
【详解】（1）由题意得，甲通过初试的概率，乙通过初试的概率．
∵，∴甲通过初试的可能性更大．
（2）设乙答对试题的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，且，
∴，，
，，
，易知，
∴Y的分布列为
Y 0 5 10 15 20
P
．
17．(1)
证明：因为底面为正方形，平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意，有，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，，故可取，
因，而平面，所以平面.
(2)
(3)
【详解】（1）略.
（2）由（1）可知，，，，
设平面的法向量为，
则，即，故可取，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）可知，，，
设平面的法向量为，
则，即，故可取，
由（2）可知，平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
解：（Ⅰ）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值即，
又因为，，
解得：，，，所以椭圆方程为.
（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，
设直线，，联立，
得，
，即，
由题意得：，
又直线，故，
，
即解得（舍），故，
直线或.
19．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列
所以设公差为d，公比为q，因为，，．
所以，得或，
又因为数列是递增等比数列且，所以，
所以，．
（2）因为
所以
设
所以
所以
（3）由已知得，，2，3，…，，，不妨设，
首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减：
假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在
使得或者，所以
此时
则将调换到之前
因此时，取最大值必有，，…，
此时
所以取最大值时，
并且，
此时
当时，
当时，
因为
所以．
综上．
20．(1)
(2)（i）1；
（ii）由题意，，定义域为，
由题意有两个不相等的实数根，
令，则，
所以在上递增，所以，
令，
所以有两个不相等的正的零点，且，
即，两式分别相加减得，
.
所以②
要证，只需证，
即证，即需证，
由②知，，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，即，
故只需证，
令
则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立.
所以，即，故.
【详解】（1）因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为：，即.
（2）（i）当时，，定义域为，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以使得，即，①
故当时，，即，此时在上单调递减；
当时，，即，此时在上单调递增，
所以当时，函数有最小值，
由①可得，即，
所以函数的最小值为.
（ii）略

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