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安徽淮南市高新技术开发区寿县高新区教联体2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题
一、单选题
1．若分式有意义，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，数轴上表示的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是不等式的一个解，则a的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．3
6．关于代数式的值说法正确的是（ ）
A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小
7．某施工队需铺设总长1200米的雨污分流管道，因中考期间施工管控，为确保工程在中考前完工，该施工队实际铺设时，工作效率比原计划提高了，最终提前4天完成全部铺设任务．设原计划每天铺设管道的长度为x米，则下列所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
10．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）.
12．2026年4月，合肥某科技公司的半导体12英寸晶圆再生项目正式奠基，其自主研发的再生工艺成功突破19纳米技术节点，工艺中关键结构的特征尺寸为米．其中数据用科学记数法表示为______．
13．小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下：
超市 优惠方式
甲 所有厨房用品按标价的八折优惠
乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠
总标价超过200元的部分，按六折优惠
通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______．
14．对于任意的整数a，如果，则称t为a的“最简平方差”，a为t的“平方差分解数”．例如：，则15为4的“最简平方差”，4为15的“平方差分解数”．已知“最简平方差”m，n对应的“平方差分解数”分别为x，y．
（1）______；（用含x，y的代数式表示）
（2）若，则的值为______．
三、解答题
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．解方程：．
18．已知关于x的方程，其中b是常数．
(1)若该方程的解满足，求b的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大负整数解，求b的值．
19．阅读：已知，求的值．
思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值．
解：
．
请你利用整体的思想解决下列问题．
(1)已知，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
20．观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律：
(1)照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______；
(2)（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性；
（ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：．
21．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“4阶分式”．
(1)填空：分式与互为“______阶分式”；
(2)已知分式与A互为“2阶分式”，求分式A；
(3)已知分式，，且B与4C互为“3阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）．
22．已知正方形A和B，其边长分别为m，，如图1．现将正方形B放在正方形A的内部得到图2，将正方形A和B并列放置后构造新的正方形得到图3．
(1)若图2和图3中阴影部分的面积分别为1和24，求的值；
(2)要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以m，n为边的长方形多少个？
(3)在（1）的条件下，三个正方形A和两个正方形B按如图4摆放，求阴影部分的面积．
23．根据以下信息，按要求完成下列任务．
社区运动健身器材采购创意探究项目
项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯．
项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性．
信息展示
信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍，
信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件．
信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量．
问题解决
(1)求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？
(2)综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量．
(3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案．
参考答案
1．C
【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0，
∴分式的分母满足，
解得：．
2．D
【详解】解：选项A的右边是和的形式，不是整式乘积的形式，A不是因式分解；
选项B的右边是和的形式，不是整式乘积的形式，B不是因式分解；
选项C是从整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，C不是因式分解；
选项D将多项式化为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，D是因式分解．
3．A
【详解】解：数轴上表示的不等式组的解集．
4．A
【详解】解：A选项中，，计算正确；
B选项中，，计算错误；
C选项中，，计算错误；
D选项中，，计算错误．
5．D
【详解】解：∵是不等式的一个解，
∴将代入不等式得：，
化简得，
∵四个选项中只有，符合要求．
6．B
【详解】解：∵算术平方根的值为非负数，
∴，
∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大，
∴当取最小值时，代数式取得最大值，令，
解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值，
故时，代数式的值最大．
7．C
【详解】解：∵设原计划每天铺设管道的长度为米，管道总长为1200米，
∴原计划施工天数为天，
∵实际工作效率比原计划提高了，
∴实际每天铺设管道长度为米，实际施工天数为天，
∵工程提前4天完成，即原计划天数比实际天数多4天，
∴列方程得：．
8．C
【详解】解：对图①，原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图②，原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图③，原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图④，原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证；即可以验证的有①②③．
9．B
【详解】解：原分式方程变形为：
方程两边同乘（分母不为0，因此）去分母得：
整理得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0，
∴
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的取值范围为且．
10．A
【详解】解：∵，，是正数，且满足，
∴，，，
∴
，
∵，
∴．
11．>
【详解】∵，∴，
∴，
故答案为：＞.
12．
【详解】解：对于，将小数点向右移动位可得到，满足，因此，，可得．
13．
【详解】解：根据题意可得总标价不超过200元时甲的折扣更多，更优惠，
∴在乙超市购买这批厨房用品更加划算时，，
∴根据题意得，
解得．
14．
【详解】解：（1）根据题意，得，，则；
（2）∵，
∴，
即，
∵x，y均为整数，
∴或或或
∴．
15．
【详解】解：原式．
16．化简为，求值为
【详解】原式，
当时，原式．
17．
【详解】解：去分母，得，
整理得，
解得．
经检验，把代入，
所以该分式方程的解为．
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：解方程，得：
，
又，
所以，
解得：；
（2）解：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
所以x的最大负整数值为，
所以，
解得：．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
，
当时，
原式
；
（2）解：∵，
∴，
原式
．
20．(1)32
(2)（ⅰ）．理由如下：
左边
右边，
∴等式成立；
（ⅱ）
【详解】（1）解：第1个图形中最外圈的小正方形个数为，
第2个图形中最外圈的小正方形个数为，
第3个图形中最外圈的小正方形个数为，
照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为；
（2）解：（ⅰ）略；
（ⅱ）
．
21．(1)4
(2)
(3)
【详解】（1）解：，
所以与互为“4阶分式”
（2）∵分式与A互为“2阶分式”，
∴；
（3）∵分式，，且B与4C互为“3阶分式”，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)需要以m，n为边的长方形11个
(3)
【详解】（1）解：由图2得，
则．
由图3得，
得．
所以，
解得；
（2）解：
，
而以m，n为边的长方形面积为，
故需要以m，n为边的长方形11个；
（3）解：由（1）知，，
所以，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以
．
23．(1)甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元；
(2)共有3种方案：方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件；方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件；方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件；
(3)购买甲种器材20件，乙种器材20件，这个方案总费用最低
【详解】（1）解：设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元，
由题意得：，
解得：，
经检验得出：是原方程的根，
则，
答：甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元；
（2）解：设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件，
根据题意得：，
解得：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴共有3种方案．
方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件；
方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件；
方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件；
（3）解：方案一总花费：元；
方案二总花费：元；
方案三总花费：元；
∴方案一总花费最低．

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