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2025-2026学年重庆实验外国语学校八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a4 a4＝a16 B．（2a3）3＝6a9
C． D．
4．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作直线EF∥BC，∠BAC＝98°，则∠FAC的度数为（　　）
A．36° B．41° C．46° D．51°
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则BC的值为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．（4分）估计的值应在（　　）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
7．（4分）若关于x的多项式9x2﹣2（k+1）x+16是完全平方式，则k的值为（　　）
A．±11 B．23或﹣25 C．5或﹣7 D．11或﹣13
8．（4分）小强和小东的家分别距离体育馆1800m和2400m．周六两人分别从家中同时出发到体育馆观看足球比赛，已知小东的速度是小强的1.5倍，结果小东比小强提前5min到达体育馆，设小强的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E，点F是线段CD上的一点，连接AF，若AF＝BC，CF＝AD，∠BCD＝α，则∠FAD的度数是（　　）
A． B． C．α﹣30° D．60°﹣α
10．（4分）已知整式Mn＝a0+a1x+ +an﹣1xn﹣1+anxn，其中n为自然数，a0，a1， an﹣1，an为整数，且an≠0．下列说法：
①若n＝0，且2，则满足条件的a0的值有5个；
②若n＝2，且，其中an＞an﹣1＞…＞a1＞a0≥0，则满足条件的整式Mn有5个；③若n＝1，a1＝3，且关于x的方程3无解，则a0＝2或﹣4．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题8个小题，每题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）在半导体科研领域中，某新型芯片的电路线宽仅为0.000000072米，将数字0.000000072用科学记数法表示为　 　 ．
12．（4分）计算：（﹣2）﹣3+（2π﹣5）0＝　 　 ．
13．（4分）分解因式：3a2﹣6a+3＝　 　 ．
14．（4分）若，则分式的值为　 　 ．
15．（4分）如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE，∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F，连接CF．若AC＝8，CE＝6，S△ACF＝16，则S△FCE＝　 　 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠A＝30°，AB＝8，点D为AB延长线上一点，连接CD，若∠BCD＝15°，点P和点Q分别是AC边和CD边上的动点，当BQ+QP最小时，PQ的长度为　 　 ．
17．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ．
18．（4分）对于一个两位自然数（1≤x，y≤9，且x，y均为整数），规定．一个四位正整数（1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d均为整数），若能被11整除，则a+c＝　 　 ，同时能被11整除，且M+ab﹣cd能被8整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为　 　 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题12分，第20题8分，第21题8分，其它小题各10分，共78分.解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上）
19．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）（x﹣1）（1+x）（x2+1）；
（4）．
20．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点H为AC上一点，连接BH，∠A+∠CBH＝90°．
（1）用尺规完成以下基本作图：作BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE交BH于点M，在CE的延长线上截取EF＝AE，连接BF．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）的条件下，求证：BM⊥CF．（完成下面的证明过程）．
证明：∵ED垂直平分BC，
∴①　 　 ，
在△ACE和△FBE中，
，
∴△ACE≌△FBE（SAS），
∴AC＝BF，③　 　 ，
∵AC＝BC，
∴BF＝BC，
∴④　 　 ，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠A+∠CBH＝90°，
∴∠BCF+∠CBH＝90°，
∴∠BMC＝90°，
∴BM⊥CF．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，∠ADC＝110°，点E在BC下方，连接DE，AE，BE，若DC＝DE，且∠BDE＝40°．
（1）求证：AE＝AC；
（2）若∠C＝55°，求∠BED的度数．
24．（10分）2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”联赛）正在火热进行中，九龙坡奥体中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．小明准备销售吉祥物“渝渝”和“超超”，已知“渝渝”的购进单价比“超超”的购进单价高20%，小明用3000元购进“超超”的数量比用2400元购讲“渝渝”的数量多20件．
（1）求“渝渝”和“超超”的购进单价；
（2）小明购进这两种吉祥物的运输费为200元，他决定将“渝渝”和“超超”售价都定为70元/件，“渝渝”很受欢迎，很快就销售完了，当“超超”售出20件时，小明决定对剩余的“超超”降价销售．若小明售完这两种吉祥物后，总利润不低于560元，那么剩余的“超超”最低应打几折销售？
25．（10分）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴（当且仅当a＝b时，）．
【获得结论】在（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，当且仅当a＝b时，a+b有最小值．
如：若x＞0，则，
∴，当且仅当，即x＝1时，有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，则的最小值是　 　 ；
（2）已知x＞0，m是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC⊥BD，AC＝BD＝6，S△ABO＝2，求S△COD的最大值．
26．（10分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．
（1）如图1，过点B作BG⊥AC于点G，点D为线段AG上一点（不与端点重合），连接BD，过点D作DF⊥BD交BG的延长线于点F，若∠F＝4∠ABD，DG＝1，求BD的长度；
（2）如图2，点G为△ABC内一点，连接AG，BG，CG，过点G在CG的下方作EG⊥GC，且EG＝CG，连接AE，CE，点D为AE的中点，连接BD、DG，求证：BD＝DG；
（3）如图3，点D为BC的中点，连接AD，过点B作BM⊥AD于点M，点E为线段AM上一点，过点E作EH⊥BE交直线BC于点H，点F为线段EH上一点，连接DF，当∠HFD＝∠EBH时，连接AF，CF．在同一平面内将△ACF沿直线AC翻折得到△ACF′，过点C作CG⊥AC交AD的延长线于点G，连接CF′，GF′．若，请直接写出CF′+GF′的最小值．
2025-2026学年重庆实验外国语学校八年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B A B D B D B
二、填空题（本大题8个小题，每题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．7.2×10﹣8．
12．．
13．3（a﹣1）2．
14．﹣1．
15．12．
16．4．
17．﹣26．
18．11，6776．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题12分，第20题8分，第21题8分，其它小题各10分，共78分.解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上）
19．解：（1）
＝39﹣（2）
＝39﹣2
＝47；
（2）
＝6（）
；
（3）（x﹣1）（1+x）（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1；
（4）
a4b6÷2a3b2
ab4．
20．解：（1），
方程两边同乘3x（2x﹣7），得2x﹣7＝3×3x，
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，3x（2x﹣7）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣1；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘x﹣3，得2x﹣2﹣（x﹣3）＝13﹣3x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
所以原分式方程无解．
21．解：


，
∵2a2﹣6a﹣3＝0，
∴a2﹣3a，
∴原式．
22．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵ED垂直平分BC，
∴①EB＝EC，
在△ACE和△FBE中，
，
∴△ACE≌△FBE（SAS），
∴AC＝BF，③∠CFB＝∠A，
∵AC＝BC，
∴BF＝BC，
∴④∠CFB＝∠BCF，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠A+∠CBH＝90°，
∴∠BCF+∠CBH＝90°，
∴∠BMC＝90°，
∴BM⊥CF．
故答案为：EB＝EC，EB＝EC，∠CFB＝∠A，∠CFB＝∠BCF．
23．（1）证明：∵∠ADC＝110°，∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠BDE＝40°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝110°＝∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴AE＝AC；
（2）解：∵△ADE≌△ADC，∠C＝55°，
∴∠AED＝∠C＝55°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°，
∵AB＝AC，AE＝AC，
∴AE＝AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝55°，
在△ABD中，∠ADB+∠ABC+∠DAE+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣70°﹣55°﹣15°＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠BAE）＝70°，
∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝125°．
24．解：（1）设“超超”的购进单价为x元，则“渝渝”购进单价为（1+20%）x元，即1.2x元，
由题意得：20，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝60，
答：“超超”的购进单价50x元，“渝渝”购进单价为60元；
（2）由（1）可知，60，40，
设剩余的“超超”应打m折销售，
由题意得：（70﹣60）×40+（70﹣50）×20+（70×0.1m﹣50）（60﹣20）﹣200≥560，
解得：m≥7，
答：剩余的“超超”最低应打7折销售．
25．解：（1）根据题意，得，
当且仅当，即x＝2时，有最小值8．
故答案为：8；
（2），
，
即的最小值为2m．
根据题意，得2m1．
∴168﹣8
8
8，
将2m1代入得，
原式＝（1+4）2﹣8＝17；
（3）设AO＝x，则BO，CO＝6﹣x，DO＝6，
，
因为，
当且仅当3x，
即x＝2时，有最小值12，
所以当3x＝12时，S△COD取得最大值，最大值＝20﹣12＝8．
26．（1）解：在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°得
∵BG⊥AC，
∴AG＝GC＝BG，
∴∠ABG＝∠A＝45°，
∴∠ABD+∠DBF＝45°，
∵∠F＝4∠ABD，
∴，
∵DF⊥BD，即∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠F＝90°②，
由①②得∠DBF＝30°，
在Rt△DBG中，DG＝1，
∴DB＝2DG＝2；
（2）证明：作△GEC关于CG对称的△GMC，△ABC关于BC的对称△NBC，
在Rt△GEC中，∠EGC＝90°，EG＝CG，∠ECG＝45°，
∴CM＝EC，∠GCM＝∠ECG＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ACB＝45°，
∴NC＝AC，∠NCB＝∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝45°﹣∠ACG，∠BCG＝45°﹣∠ACG＝45°﹣∠BCE，∠ECN＝45°﹣∠BCE，
∴∠ACG＝∠BCE，∠ACM＝∠ECN，
∵CM＝CE，AC＝NC，
∴△ACM≌△ECN（SAS），
∴AM＝EN，
由对称性，EG＝GM，AB＝BN，且点D是AE的中点，即ED＝AD，
∴DG是△EAM的中位线，DB是△AEN的中位线，
∴，，
∴DB＝DG；
（3）解：∵HE⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
∵∠HFD＝∠EBC，∠HFD+∠EFD＝180°，
∵∠EBC+∠EFD＝180°，
根据四边形内角和360°，得∠BDF＝90°，FD⊥BC，
作△DCF关于AC对称的△D'CF'，
∵∠DCF+∠ACF＝45°，
∴∠DCD'＝90°，
∴，且∠D'＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
延长D'F'交AB于点P，则∠D'PB＝90°，
∴D'P垂直平分AB，
作点G关于PD'的对称点G'，连接F'G'，GG'，CG'，
∵∠ABC＝90°，AB⊥BC，
∴GG'⊥BC，
设GG'交BC于点N，以BN，NG为边作长方形BNGQ，则BN＝QG，
由轴对称的性质，得AG＝BG'，
∵∠Q＝∠BNG'＝90°，
∴RtΔG'NB≌Rt△AQG（HL），
∴G'N＝AQ，
∵CG⊥AC，∠ACG＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCG＝45°，
在Rt△CNG中，，
根据勾股定理，得，
∴，AQ＝AB+BQ＝4，
∴，
GF'+CF'＝G'F'+CF'≥CG'，
∴当C，F'，G'在一条直线上时取等号，
在Rt△G'NC中，．
∴GF'+CF'的最小值为．

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