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2025-2026学年上海海洋大学附属大团高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.已知复数z=i3（i为虚数单位），则的共轭复数是（　　）
A. 2-i B. 2+i C. -1+2i D. 1-2i
2.在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若，则m+n的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（　　）
A. y=2sin（2x+） B. y=2sin（2x+）
C. y=2sin（-） D. y=2sin（2x-）
4.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在锐角三角形ABC中，BC=1，AB2+AC2=3，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d,现有两个命题：
①2d=AB+AC+BC；
②d的取值范围是.
则下列论断正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若复数，则|z|=______．
6.已知，，且，则m= .
7.点P（-2，1）为角θ终边上的一点，则sinθ= .
8.设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是 .
9.若f（x）=sin（2x+φ）为偶函数，且-π＜φ＜π，则φ的值为 .
10.设向量满足||=6，且，则向量在方向上的投影是 .
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a：b：：2：，则△ABC的最大内角的余弦值为 .
12.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a,b,c,a=1，bcosA+cosB=2b,则= .
13.已知向量=（λ，1），=（2，3），若与的夹角θ是锐角，则实数λ的取值范围是 .
14.如图，正六边形的边长为，半径为1的图O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为 .
15.如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且AB=30米，BC=20米，∠BAD=60°，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区EFGH，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点AB，C，D，则该展览区的最大面积约为 平方米（精确到1平方米）.
16.已知函数，下列命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）的图像是轴对称图形；
③函数f（x）在区间[-2π，2π]上共有13个零点；
④函数f（x）在区间（0，1）上是严格增函数；
其中真命题有 （填所有真命题的序号）.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）已知tanα=-3，求的值；
（2）若，求sin2α的值.
18.(本小题10分)
已知复数z满足.
（1）求z；
（2）已知z是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，分别求b,c的值.
19.(本小题10分)
已知向量，且.
（1）求及；
（2）记，求函数y=f（x）的最小值.
20.(本小题12分)
已知.
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和初始相位；
（2）根据f（x）的表达式，f（x）先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到y=sinx,请写出完整的变换过程；
（3）若且对任意x∈[m,n]恒成立，求n-m的最大值.
21.(本小题12分)
利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（z1，z2）（其中z1，z2∈C）视为一个向量，记作.类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为.
（1）设，=（3，4），i为虚数单位，求复向量、的模；
（2）设、是两个复向量.
①已知对于任意两个平面向量，，（其中x1，x2，y1，y2∈R），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与=（i,z）平行（其中i为虚数单位，z∈C），求复数z.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】-2
7.【答案】
8.【答案】2
9.【答案】±
10.【答案】-
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】{λ|且}
14.【答案】[5，7]
15.【答案】1096
16.【答案】②③
17.【答案】2
18.【答案】
19.【答案】；；

20.【答案】f（x）的最小正周期为π，初始相位为- 变换过程：①平移变换：将f（x）的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y=sin2x的图象；②伸缩变换：将y=sin2x图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不变），即可得到y=sinx的图象 n-m的最大值为
21.【答案】解：（1）由题意，||====，||===5；
（2）①设=（a+bi,c+di），=（e-fi,g-hi），
||×||=，
则||=|ae-bf+cg-dh+（ch+dg+be+af）i|=
由于（a2+b2+c2+d2）（e2+f2+g2+h2）-（ae-bf+cg-dh）2（ch+dg+be+af）2
=（ag-ce）2+（df-bh）2+（ah+de）2+（cf+bg）2-2（bceh+bdeg+acfh+adfg）
≥2（ag-ce）（df-bh）+2（ah+de）（cf+bg）-2（bceh+bdeg+acfh+adfg）=0，
所以||≤||×||；
②设z=（a+bi），结合①得||==，
||×||==，
令7+7（a2+b2）=5（a2+b2）+2（3a-b）+2，化简得（a-）2+（b+）2=0，
即a=，b=-，z=-i.
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