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2025-2026学年河南省信阳市固始县希望高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.记数列{an}为等比数列，已知a3=4，a4a6=2a3a5，则a9=（　　）
A. 32 B. 34 C. 38 D. 31
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
3.二项式（x-2）7展开式中，系数最大值为（　　）
A. 280 B. 448 C. 560 D. 672
4.已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ＞2.2）=0.4，则P（1.8＜ξ＜2）=（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
5.如图，已知两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.当MN的长最小时，直线MN和AB夹角的余弦值是（　　）
A.
B. 0
C.
D.
6.在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（2，0），若直线x-2y+m=0上存在点P满足，则m的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1C与BC1夹角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
8.若直线y=m（x-1）+2与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某厂生产的零件尺寸X服从正态分布N（5，σ2），且满足P（X＜4.8）=0.1，零件的尺寸与5的误差不超过0.2即合格，若从这批产品中随机抽取3件，则（　　）
A. P（X＜5.2）=0.6 B. P（4.8＜X＜5）=0.4
C. 抽出的3件都合格的概率为0.512 D. 抽出的3件中只有1件合格的概率为0.096
10.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且Ek=mv2（Ek表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（　　）
A. 该物体瞬时速度的最小值为1m/s B. 该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C. 该物体在第1s时的动能为16J D. 该物体在第1s时的动能为8J
11.下列命题是假命题的是（　　）
A. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
B. 若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量
C. 在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量
D. ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若过点A（3，4）、Q（6，3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 .
13.若f（x）满足对任意的实数a、b都有f（a+b）=f（a）f（b）且f（1）=2，则= .
14.已知两点A（0，1），B（-3，4）和圆C：x2+y2=8，则直线AB与圆C的位置关系为 .若点M在圆C上，且S△ABM=3，则满足条件的点M共有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ex（x2-2x）.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）-a恰有两个零点，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AB=AA1，∠ABC=90°，N是AC的中点.
（1）证明：直线A1C⊥平面BC1N.
（2）求平面BC1N与平面BCC1B1夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
方案一：投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
方案二：购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
（Ⅰ）当时，求q的值；
（Ⅱ）若要将10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由.
18.(本小题17分)
求下列函数的导数：
（1）y=3x2+cosx；
（2）y=（x+1）lnx；
（3）.
19.(本小题17分)
4名男生和3名女生站成一排.
（1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】2024
14.【答案】相交
4

15.【答案】极小值为，极大值为．
a或a=（2+2）e．
16.【答案】证明见解答； ．
17.【答案】解：（Ⅰ）“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”和“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，则p++q=1，且p=，所以++q=1，解得q=；
（Ⅱ）假设选择“投资股票”方案进行投资，且记X为投资股票的获利金额（单位：万元），随机变量X的分布列为：
X 4 0 -2
P
则；
假设选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为购买基金的获利金额（单位：万元），随机变量Y的分布列为：
Y 2 0 -1
P
则；
∵EX＞EY，∴选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
18.【答案】解：（1）y′=（3x2+cosx）′=6x-sinx；
（2）；
（3）=．
19.【答案】解：（1）（种），
甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．
（2）（种），
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．
（3）（种）．
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．
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