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2025-2026学年北京市东城区汇文中学高一（下）阶段检测数学试卷（6月份）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知复数，则z在复平面内对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，不共线，=3-t，=-2t+6，若与同向，则实数t的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 3 D. -3或3
3.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（　　）
A. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β
B. 若m⊥α，β⊥α，则m∥β
C. 若m∥α，n∥α，则m∥n
D. 若m,n α，m∥β，n∥β，则α∥β
4.将函数f（x）=cosx的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则（　　）
A. g（x）在区间上单调递减 B. g（x）在区间上单调递增
C. g（x）在区间上单调递减 D. g（x）在区间上单调递增
5.在△ABC中，A=，则“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设函数f（x）=sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）=f（x）恒成立，且f（x）在[0，]上存在零点，则ω的最小值为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
7.在△ABC中，AC=3，，AB=2，则AB边上的高等于（　　）
A. B. C. D.
8.祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA1和两根金柱BB1，CC1形成的几何体ABC-A1B1C1（图2）中，AB=AC≈8米，∠BAC≈144°，则平面A1B1C1与平面ABC所成角的正切值约为（　　）
A. B. C. D.
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N别为B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足BP⊥CN，则下列说法正确的是（　　）
A. 点P可以是棱AA1的中点 B. 线段BP的最大值为
C. 点P的轨迹是正方形 D. 点P轨迹的长度为
10.已知平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2，设C（3，4），则|2+|的取值范围是（　　）
A. [6，14] B. [6，12] C. [8，14] D. [8，12]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，满足，=（3，4），.则= .
12.角α的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的横坐标为 .
13.如图，一个四面体ABCD.棱AD的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为 .
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为AB的中点.当点P在BC边上时，的值为 ；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的取值范围是 .
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得∠B1PD1=90°；
④△PDD1面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知平面直角坐标系中，向量.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
在△ABC中，acosC+ccosA=bcosB.
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若a=12，D为BC边的中点，且AD=3，求b的值.
18.(本小题15分)
在三棱柱ABC-A1B1C1中，BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点.
（1）求证：MN∥平面BCC1B1；
（2）若AB⊥MN，求证平面BCC1B1⊥平面ABC.
19.(本小题15分)
已知函数f（x）=asinωxcosωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-2cos2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点，平面ABE与棱PC交于点F.
（1）求证：F为棱PC的中点；
（2）求直线BF与平面ABCD所成角的正切值.
21.(本小题15分)
已知n（n≥2）为给定的正整数，平面向量组A由n个平面向量构成，即A：，， ，，其中=（x1，y1），=（x2，y2）， ，=（xn，yn），若x1，x2， ，xn，y1，y2， ，yn均为非负实数，则称A为非负平面向量组.记：
rA（x）=x1+x2+ +xn，rA（y）=y1+y2+ +yn；
cA（1）=x1+y1，cA（2）=x2+y2， ，cA（n）=xn+yn.
若等于在x轴上的投影向量或等于在y轴上的投影向量，等于在x轴上的投影向量或等于在y轴上的投影向量，…，等于在x轴上的投影向量或等于在y轴上的投影向量，称平面向量组B：，， ，为A的一个投影向量组.
（Ⅰ）若=（1，0），=（3，2），写出rA（x），rA（y），cA（1）和cA（2）的值.
（Ⅱ）当n=2时，对于任意非负平面向量组A，若cA（1）=cA（2）=1，求证：存在A的一个投影向量组B，使得.
（Ⅲ）当n=27时，对于任意非负平面向量组A，若cA（1）=cA（2）= =cA（27）=1，求证：存在A的一个投影向量组B，使得rB（x）≤7，rB（y）≤7.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】6
14.【答案】8
[-8，8]

15.【答案】①③④
16.【答案】解：（1）根据题意，可得，设，
因为，所以2x=0×y,解得x=0，
因为，解得y=±3，所以或．
（2）根据，可得，
当与共线时，1×（-2+6λ）=-2×（1-2λ），此时λ=0，
因为与的夹角为锐角，
所以，解得，且λ≠0，
综上所述，当与的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为．
17.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中由正弦定理，
∴，
又∵sin（A+C）=sinB，
∴，
∵sinB≠0，
∴，
∵B∈（0，π），
∴；
（Ⅱ）在△ABD中由余弦定理得，
，
解得，
在△ABC中余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
解得b=．
18.【答案】取BC的中点D，连接DN，DB1，
因为N是AC的中点，
所以DN∥AB，DN=AB，
又M是A1B1的中点，
所以B1M∥AB，B1M=AB，
所以DN∥B1M，DN=B1M，
所以四边形MNDB1是平行四边形，
所以MN∥DB1，
又MN 平面BCC1B1，DB1 平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1 因为BCC1B1为正方形，
所以BC⊥BB1，
又平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1，BC 平面BCC1B1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
而AB 平面ABB1A1，所以BC⊥AB，
若AB⊥MN，因为MN∥DB1，所以AB⊥DB1，
又BC∩DB1=D，BC、DB1 平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1，
又AB 平面ABC，
所以平面BCC1B1⊥平面ABC
19.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=asinωxcosωx（a＞0，ω＞0），
所以f（x）=asin2ωx，
显然当a≠0时f（x）为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即f（x）=asin2ωx最大值为1，
所以a=1，解得a=2，所以f（x）=sin2ωx，
又f（）=1，
所以f（）=sin（2ω×）=1，即ω=+2kπ，k∈Z，解得ω=1+4k，k∈Z，故f（x）不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以=π，解得ω=1，所以f（x）=asin2x，
又f（）=asin（2×）=1，
所以a=1，解得a=2，所以f（x）=sin2x；
若选择③④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以=π，解得ω=1，所以f（x）=asin2x，
又f（x）的最大值为1，
所以a=1，解得a=2，所以f（x）=sin2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）=f（x）-2cos2ωx+1=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=sin（2x-），
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为（kπ-，kπ+），k∈Z，
又x∈（0，π），
所以g（x）在（0，π）上的单调递增区间有（，π）和（0，）．
20.【答案】证明见解析；
．
21.【答案】rA（x）=4，rA（y）=2，cA =1，cA =5；
证明见解析；
证明见解析．
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