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2025-2026学年广东省广州市黄埔区玉岩中学高一（下）限时训练数学试卷（二）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足|z|=2，则|z-4|的最大值为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.某学校对高一新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400.从中抽取40个样本，如表提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A. 328 B. 253 C. 007 D. 860
3.如图，O′A′B′C′为平面四边形OABC用斜二测画法作出的直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=2，则四边形OABC的面积为（　　）
A.
B.
C. 5
D.
4.设O为△ABC的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”.现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 128π
B. 100π
C. 80π
D. 64π
6.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为的正方形，侧棱，E，F分别是AB，BC的中点，则过点D1，E，F的平面截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为（　　）
A. B. C. D.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F//平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（　　）
A. {t|} B. {t|≤t≤2}
C. {t|2} D. {t|2}
8.在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BC-D的大小为，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为（　　）
A. B. C. 27π D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知一组大小不等的数据xi（i=1，2，…，n）的平均数为，方差为s2，标准差为s,极差为a,若yi=-2xi+3，则下列关于数据yi（i=1，2，…，n）的结论正确的是（　　）
A. 平均数为 B. 方差为4s2 C. 标准差为-2s D. 极差为-2a
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
C. 若b=8，c=10，B=30°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若a3=b3+c3，则△ABC是锐角三角形
11.如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台表面从E到G的路径的长度为a,在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（　　）
A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为
C. a的最小值为 D. b的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校高一年级在校人数为600人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172cm,抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为160cm,则可估计该校高一学生的平均身高为 cm.
13.一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为 .
14.锐角△ABC的面积为2，且=，若AB2-（BC-AC）2＞m恒成立，则实数m的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为[2，10]），将其分数记为满意指数.根据打分结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在[2，4）内的学生有15人.
（1）求图中a,b的值；
（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
附：若数据x1，x2， ，xm的平均数为，方差为，数据y1，y2， ，yn的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且的面积为2.
（1）求角A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且外接圆半径为2，求的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是棱A1B1，AC的中点.
（I）证明：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）若AB=BC=BB1=2，且AB⊥BC，求点A到平面BMN的距离.
18.(本小题17分)
如图所示，△ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到B的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的BC的三等分点上，设，.
（1）用，表示，；
（2）如果∠ACB=60°，AC=20海里，且CD⊥EF，求岛屿C到补给站D的距离；
（3）若三个岛屿围成的△ABC的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
19.(本小题17分)
如图，已知四边形ABCD满足AD=2，，AD⊥CD，AC⊥BC，现将△DAC沿着AC翻折得到△PAC形成四棱锥P-ABCD，记二面角P-AC-D的平面角大小为θ.
（1）若，证明：AP⊥PB.
（2）在线段AP上是否存在一点E使得DE∥平面PBC，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
（3）三棱锥P-ABC的外接球球心为O，二面角O-AP-C和O-BC-A的平面角大小分别为α，β，求tan2α-tan2β（记λ=sinθ，结果用λ表示）.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】167
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】a=0.10，b=0.15 A餐厅满意指数的平均数大于B餐厅满意指数的平均数
16.【答案】
17.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．
18.【答案】=，=；
12；
岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为2公里．
19.【答案】证明过程请见解答； 当=时，DE∥平面PBC，理由请见解答； ．
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