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2025-2026学年浙江省舟山中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则（ UA）∩（ UB）=（　　）
A. {6，8} B. {6} C. {8} D. {1，6，8}
2.复数的虚部为（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若a=1，A=135°，则的值为（　　）
A. B. C. D.
4.已知f（x）是定义在R上的函数，f（x+2）=f（x+1）-f（x），当0≤x＜6时，f（x）=5-2x,则f（7）=（　　）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5.已知高为4的正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的表面上，若球O被平面ABCD所截得的截面面积为8π，则四棱锥O-ABCD的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　）
A. E，F，G，H四点共面
B. AA1与GH是异面直线
C. ∠EGH=∠FHG
D. EG，FH，AA1三线共点
7.函数的部分图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
8.枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB=30米，∠AOB=30°，则该塔的高度OP=（　　）
A. 米 B. 米 C. 25米 D. 米
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若f（x）是偶函数，则a=1
B. 若f（x）是奇函数，则a=-1
C. 若f（x）＞0，则a的取值范围为（0，+∞）
D. 若a＞0，则f（x）的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的最大值是3，最小值是-3
B. f（x）两个相邻的对称轴之间的距离为π
C. f（x）的图象关于点对称
D. 将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点P是棱AA1上的动点（不含端点），过点D1，B，P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为V1，V2，则（　　）
A. 截面是平行四边形 B. 若，则
C. 存在点P，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使折起后，则二面角B-AC-D的大小为 .
13.已知△ABC的角A，B，C对应的边为a,b,c,且，则A= .
14.已知函数f（x）=-x2-4x-5，（x＞0），若存在实数m,n,使得f（m）-g（n）≥-3成立，则m-n= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二次函数f（x），满足当x=3时，f（x）取得最大值5，且f（0）=-4.
（1）求二次函数f（x）的表达式；
（2）若x∈[t,t+4]，求函数f（x）的最大值h（t）.
16.(本小题15分)
已知（其中ω＞0），相邻两个对称中心之间的距离为.
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于x的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
已知向量，.
（1）若，求cos（x+θ）；
（2）若，函数；
（i）当f（x）取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
（ii）讨论y=f（x）-2的零点个数.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，，点E在线段PD上，且PE=1.
（1）设平面PBC∩平面PAD=l,证明：BC∥l；
（2）证明：AE⊥PC；
（3）线段CA上是否存在点M，使得EM∥平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
若函数y=f（x）和y=g（x）的定义域均为R，且对任意两个不同的实数a,b均有f（a）+g（b）＞0或f（b）+g（a）＞0成立，则称y=f（x）和y=g（x）为一对相关函数.
（1）判断函数f（x）=x+2，g（x）=-x+2，h（x）=x2-1中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；
（2）已知函数f（x）=x2和g（x）=-2x+k是一对相关函数，求实数k的取值范围；
（3）小菲说：“对任何一对相关函数y=f（x）和y=g（x），只要存在正实数M使得|f（x）|≤M对任意实数x恒成立，我都一定能找到一个正整数N使得对任意x∈[N，N+1]均有f（x）+g（x）≥-”，请判断小菲说法的正误并进行证明.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-3
15.【答案】f（x）=-x2+6x-4
16.【答案】；对称轴为，k∈Z ，k∈Z
17.【答案】 （i）或；（ii）3个
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,
∴BC∥l.
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
PA，AD 平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
AE 平面PAD，∴CD⊥AE．
在△PAD中，PA=2，PE=1，，
∴PA2=PE PD，
∴AE⊥PD．
CD，PD 平面PCD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又PC 平面PCD，
∴AE⊥PC；
（3）解：如图：
过E作EN∥PC，交CD于点N，过N作NM∥AD交AC于点M．
∵EN∥PC，PC 平面PBC，EN 平面PBC，
∴EN∥平面PBC．
同理MN∥平面PBC．
又MN，EN 平面EMN，MN∩EN=N，
∴平面EMN∥平面PBC．
由（1）知，PD=4，又PE=1，则ED=3，
则，
∵CD=AB=2，．
∴，
∴点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3．
19.【答案】3对相关函数，相关函数见解析 [1，+∞） 小菲说法正确，证明如下：
假设对任意正整数N，都存在x∈[N，N+1]，均有，
对任意N≤xi＜xj≤N+1，有，
，
又函数y=f（x）与y=g（x）为相关函数对，
则：①若f（xi）+g（xj）＞0，
则f（x）+g（x）＞f（x）-f（x），
所以f（x）-f（x）＞-g（xj）-f（x）＞206；②若f（xj）+g（xi）＞0，
则f（xj）+g（xi）＞f（xi）-f（xi），
即，
由①②知：，
由f（x）∈[-M．M1，将其分为很多个子区间，如，，，，
……
则以上每个区间至多包含一个f（xn），矛盾，假设不成立，
故存在正整数N，对任意x∈[N，N+1]，均有
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