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2025-2026学年云南省玉溪市第一中学北校区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.等比数列{an}的公比为2，则=（　　）
A. B. C. 4 D. 2
2.已知向量，，若，则|=（　　）
A. 2 B. C. 3 D.
3.在△ABC中，已知AC=2，AB=4，∠A=60°，则BC=（　　）
A. B. C. 12 D. 28
4.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（　　）
A. B. 2π C. D. 7π
5.已知，则（　　）
A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. c＜b＜a D. a＜c＜b
6.如图，P是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，∠OFP=60°，则|PF|=（　　）
A. 8
B. 4
C.
D.
7.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时h）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（　　）（参考数据：lg2≈0.3）
A. 10h B. 20h C. 30h D. 40h
8.设a∈R，b∈R，若函数m（x）=（a-x）log2（x+b+1）≤0，则a+b=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知圆C1：x2+y2-4x+2my+m2=0和圆C2：x2+y2-4y-12=0，则下列说法正确的是（　　）
A. 若m=0，则圆C1和圆C2相离
B. 若m=0，则圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程是x-y-3=0
C. 若圆C1和圆C2外切，则
D. 若圆C1和圆C2内切，则m=-2
10.已知函数f（x）=|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的图象关于直线对称 B. f（x）的周期为
C. （π，0）是f（x）的一个对称中心 D. f（x）在区间上单调递减
11.1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程C：x3+y3-4axy=0，则下列选项中正确的是（　　）
A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B. 笛卡尔叶形线关于直线y=x对称
C. 当a=3时，若点P（x,y）是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则|PO|的最大值为
D. 当a=1时，若点P（x,y）是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则xy的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，A1C1⊥CC1，，CC1=1，则异面直线A1B与CC1所成角的余弦值为 .
13.若x＞1，则函数y=的最小值为______.
14.笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为X，则数学期望E（X）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，若，求Pn.
16.(本小题15分)
海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x（‰）对亩产量y（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
海水浓度xi（‰） 3 4 5 6 7
亩产量yi（吨） 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差
（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
（2）（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数R2，并判断模型的拟合效果.（计算中数据精确到0.01）
（附：残差，决定系数）
17.(本小题15分)
在正三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足为点O，过O作平面α与棱PA，AB，BC，CP交于点D，E，F，G.
（1）求证：E，O，F三点共线；
（2）若四边形DEFG为平行四边形，求的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-x．
（Ⅰ）求证：f（x）≤-1；
（Ⅱ）若函数h（x）=af（x）+（a∈R）无零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）.
（i）求直线MN的方程；
（ii）△AMN的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】an=n 当n为偶数时，；当n为奇数时，
16.【答案】解：（1）由题意海水浓度xi（‰）分别为3，4，5，6，7，
亩产量yi（吨）分别为0.62，0.58，0.49，0.4，0.31，
可知，，
将样本中心点的坐标（5，0.48）代入经验回归方程得
0.48=5b+0.88，解得b=-0.08，
所以经验回归方程为．
当x=8时，，
即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为0.24吨；
（2）（i）由经验回归方程，
代入表中数据可得，
，；
，；
，；
，；
，．
所以残差表如下：
海水浓度xi（‰） 3 4 5 6 7
亩产量yi （吨） 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31
残差 -0.02 0.02 0.01 0 -0.01
（ ii）由上数据可知，
，
所以决定系数，与1比较接近，
所以拟合效果较好．
17.【答案】因为 E∈平面α，F∈平面α，
所以EF 平面α，
同理EF 平面ABC，所以平面α∩平面ABC=EF．
又因为O∈平面α，O∈平面 DEFG，所以O∈EF，即E，O，F三点共线 =
18.【答案】解：（I）证明：f（x）=lnx-x，则f′（x）=-1=，
令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞） 上单调递减，
当x=1时，f（x）取最大值，所以f（x）≤f（1）=-1，所以f（x）≤-1；
（Ⅱ）因为h（x）=a（lnx-x）+，
所以h′（x）=a（-1）+=（1-x）（+），
当a=0时，h（x）=＞0，h（x） 在定义域上无零点；
当a＞0时，x＞0，所以+＞0，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，
所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，h（x） 取最大值h（1）=-a+
因为h（x）无零点，所以h（1）=-a+＜0，即a＞；
当a＜0时，因为f（x）≤-1，所以a（lnx-x）＞0，
即h（x）=a（lnx-x）+＞0，
所以h（x）在定义域上无零点．
综上，a的取值范围是（-∞，0]∪（，+∞）．
19.【答案】 （i）x0x+4y0y=4；（ii）存在，
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