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2025-2026学年新疆克拉玛依市独山子第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.化简=（　　）
A. B. C. D.
2.已知复数z=1-2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（　　）
A. -2 B. 2 C. -2i D. 2i
3.在△ABC中，，则（　　）
A. B.
C. D.
4.已知a,b∈R，a-3i=（b-i）i（i为虚数单位），则（　　）
A. a=1，b=-3 B. a=-1，b=3 C. a=-1，b=-3 D. a=1，b=3
5.如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA=3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）
A.
B.
C. 6
D. 2π
6.已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）
A. B. C. D.
7.已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，，则x+4y的最小值为（　　）
A. 9 B. 4 C. 3 D.
二、多项选择题：本大题共4小题，共24分。
9.若复数z满足z（1-2i）=10，则（　　）
A. B. z-2是纯虚数
C. 复数z的虚部为4i D. 复数z在复平面内对应的点在第三象限
10.已知向量，则（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为5
D. 若，则
11.某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（　　）
A. B. C. D.
12.几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且.以下命题正确的有（　　）
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△AMC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则
D. 若M为△ABC的垂心，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α，β是不同的平面，1，m,n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=1，m α，n β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为 .
14.已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2025= .
15.已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为 .
16.若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（-2，2），则在另一组基底下的坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0（a,b∈R）的一个根.
（1）求实数a,b的值；
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
18.(本小题12分)
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.
（1）求三棱锥B1-A1EF的体积；
（2）求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值.
19.(本小题12分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，BC=2AB=2AD=2．
（1）若，求λ的值；
（2）若λ=，求与的夹角θ的余弦值．
20.(本小题15分)
已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，求：
（1）求该圆台的表面积；
（2）求该圆台的体积；
（3）求该圆台的外接球的表面积.
21.(本小题15分)
如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对[x,y]叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为[3，4]，求；
（2）已知[x1，y1]，[x2，y2]分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[cosx,1]，设函数，x∈R，求f（x）的值域.
22.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinC=cosB，a2+b2-c2=.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3+，求c.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】ABC
13.【答案】P∈l
14.【答案】i
15.【答案】3π
16.【答案】（0，2）
17.【答案】解：（1）∵x=-1+i是方程x2+ax+b=0（a,b∈R）的一个根，
则根据实系数一元二次方程虚根成对定理，
x=-1-i是方程x2+ax+b=0（a,b∈R）的另外一个根，
再由韦达定理，可得（-1+i）+（-1-i）=-a,且（-1+i） （-1-i）=b,
求得a=2，b=2．
（2）猜测另一个为-1-i.
证明：∵x=-1+i是方程x2+ax+b=0（a,b∈R）的一个根，
结合根与系数的关系，利用实系数一元二次方程虚根成对定理，
可得另一个根和x=-1+i互为共轭复数，故另一个为-1-i.
18.【答案】
19.【答案】解：（1）分别以的方向为x轴，y轴的正方向，
点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
∴A（0，1），C（2，0），D（1，1），E（λ，1），
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）当λ=时，，，
∵，
∴．

20.【答案】 80π
21.【答案】解：（1）因为的“完美坐标”为[3，4]，则，
又因为，分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°，
所以，，
所以．
（2）证明：由（1）知，，，
所以
=
=，
即．
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为[sinx,1]，[cosx,1]，
由（2）得．
令，则，
因为x∈R，所以，即，
令，
所以当时，g（t）取得最小值，
当时，g（t）取得最大值，
所以f（x）的值域为．
22.【答案】解：（1）因为+-=ab，所以由余弦定理得C===，
而C(0,)，因此C=.
又因为C=B，所以=B，即=B，解得B=，
而B(0,)，因此B=.
（2）由（1）知：B=，C=，因此A=-B-C=--=.
因为ABC的面积为3+，所以abC=3+，即ab=3+，解得.
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得（舍去）.
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