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2025-2026学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（1+5i）i的虚部为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2.已知向量，若，则实数x=（　　）
A. 1 B. -1 C. D.
3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A. 8cm
B. 6cm
C. 2（1+）cm
D. 2（1+）cm
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，则AE与B1D1的夹角为（　　）
A. B. C. D.
5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（　　）
①OM∥平面PBC
②OM∥平面PCD
③OM∥平面PDA
④OM∥平面PBA
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则a=（　　）
A. B. C. 1 D. 3
7.如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为（　　）
A.
B.
C. 1
D.
8.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的体积之和为（　　）
A. 2π
B.
C. 3π
D. 16π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=5-8i,z2=9i,则（　　）
A. z2是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. D. |z2|=81
10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（　　）
A. B. 与的夹角为45°
C. 在方向上的投影向量为 D.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2，且acosB+bcosA=c（4cosA-1），则下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C. △ABC面积的最大值为
D. 若b-c=2，角A的平分线交BC于点D，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知=（1，2），=（1，λ），若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
13.海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则sinθ= .
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=______．
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）求；
（2）求cos＜，＞.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点.
（1）若E，F分别是PD和BC中点，求证：EF∥平面PAB；
（2）若PB∥平面AEC，求证：E是PD中点.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=BC=2.
（1）求证：AC1⊥A1B；
（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小.
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=4，E、F分别为DC、CB的中点，且，P是线段AB上的一个动点.
（1）若，求mn的值；
（2）求AD的长；
（3）求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b,c；
（3）若，且△ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】（-，2）∪（2，+∞）
13.【答案】
14.【答案】-
15.【答案】（1）解：因为，
所以=（3，-1），
所以；
（2）解：因为，
所以，
，
所以．
16.【答案】证明：（1）取PA中点G，连接BG，EG，
在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，
所以EG∥AD，且，
又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，
所以BF∥AD，且，
所以EG∥BF，且EG=BF，
所以四边形BFEG为平行四边形，
所以EF∥BG，因为EF 平面PAB，BG 平面PAB，
所以EF∥平面PAB；
（2）连接BD，交AC于H，连接EH，
因为PB∥平面ACE，PB 平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EH，
所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD中点，
所以E为PD中点．
17.【答案】证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为AA1⊥底面ABC，BC 底面ABC，所以AA1⊥BC；又因为AB⊥BC，且AA1∩AB=A，AA1，AB 平面AA1B1B，
所以BC⊥平面AA1B1B，
因为A1B 平面AA1B1B，所以BC⊥A1B，
三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，因此B1C1⊥A1B，
由AA1=AB，AA1⊥AB，
可知侧面AA1B1B是正方形，正方形对角线互相垂直，
因此A1B⊥AB1，又因为AB1∩B1C1=B1，AB1，B1C1 平面AB1C1，
所以A1B⊥平面AB1C1，
因为AC1 平面AB1C1，
所以AC1⊥A1B
18.【答案】解：（1）由E，F分别为CD，BC的中点，
则EF∥BD，，
由图可得，
则，
所以；
（2）由（1）可知， ，
由AD⊥AB，则，
，
可得，解得，
所以AD的长为2；
（3）设，0≤x≤1，则，
由图可得，
=，
则
=，
又0≤x≤1，则．

19.【答案】；
b=2，c=2；
．
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