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2025-2026学年上海中学东校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等腰三角形两条边长分别为7cm和12cm,则这个等腰三角形的周长是（　　）
A. 26cm B. 31cm C. 26cm或31cm D. 21cm或36cm
2.如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（　　）
A. 74° B. 45° C. 55° D. 51°
3.如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图.从作图过程中，能判定△COD≌△C′O′D′的依据是（　　）
A. ASA B. SAS C. AAS D. SSS
4.王老师有两根小棒（如图），如果要把其中的一根剪成两段，那么下面剪法中，3根小棒一定能围成三角形的是（　　）
A. a小棒正中间剪一刀 B. b小棒正中间剪一刀 C. a小棒任意剪一刀 D. b小棒任意剪一刀
5.如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l甲，l乙，l丙.对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系正确的是（　　）
A. l甲＞l乙＞l丙 B. l乙＞l甲＞l丙 C. l丙＞l甲=l乙 D. l甲=l乙＞l丙
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG=EG，∠A=2∠DEF，有下列结论：①∠DEF=∠CBD；②∠ABE+∠CBD=45°；③EG⊥BC；④BF=CE.其中正确的结论有（　　）
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①②④
D. ②③④
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.在△ABC中，∠A=20°，∠B=110°，则∠C的度数为 °.
8.如图，∠1的度数为 °.
9.已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为 .
10.已知a,b,c是三角形的三边，化简|a-b-c|+|c-b+a|= .
11.如图，△ABC的面积为5，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，△PBC的面积是 .
12.如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD=4，BD=2，则BC的长是 .
13.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行.△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为 .
14.如图，已知△ABC≌△EBD，若AB=5，BD=8，则CE的长为 .
15.如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，若∠BAD=50°，则∠B的度数是 °.
16.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO.其中正确的有 .
17.在△ABC中，∠BAC=65°，若三条高所在直线交于点H，则∠BHC= .
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t= 秒时，△PEC与△QFC全等．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，某中学有A、B、C三栋教学楼，A、B在校内的主干道上，C在校内支路的末端.为了方便教学和管理，现计划在道路AB上修建一栋办公楼P，使办公室到B、C两栋教学楼的距离相等，请在图中作出办公楼P的位置（保留作图痕迹）.
20.(本小题6分)
补全过程或依据：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE=AE.若∠B=55°，求∠ECD的度数.
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠①______=∠B=55°，
∵点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC（②______），
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ACB=③______°，
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAD=35°（④______），
∴∠ECD=∠ACB-∠ACE=20°.
21.(本小题8分)
数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具一一卡钳，卡钳示意图如图，AD=BC，O是线段AD和BC的中点.利用卡钳测量内径的步骤为：①将卡钳A、B两端伸入在被测物内；②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁；③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度.请你写出第③步的理由.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC=48°，∠C=72°.
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数.
23.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF.
求证：
（1）FC=AD；
（2）BC=AB-AD.
24.(本小题8分)
【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”.
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”.
【理解概念】：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______；
（2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”；
【应用概念】：
（3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数.
25.(本小题8分)
（1）如图①，△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α（0°＜α＜180°），求证：DE=BD+CE；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是25，求△ABD与△CEF的面积之和；
（3）如图③，点A在直线l上，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连结BC、DE，且BC⊥l于点F，DE与直线l交于点G.若BC=34，AF=16，求S△ADG.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】50
8.【答案】100
9.【答案】108°
10.【答案】2c
11.【答案】2.5
12.【答案】6
13.【答案】8
14.【答案】3
15.【答案】65
16.【答案】①②
17.【答案】115°或65°
18.【答案】2或或12
19.【答案】如图，点P即为所求．

20.【答案】①ACB；②等腰三角形的三线合一；③35；④等边对等角．
21.【答案】如图，连接CD，由题意可得：OA=OD，OB=OC，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD，
故测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
22.【答案】∠ABE的度数是30° ∠ EFD的度数是120°
23.【答案】证明见解析；
证明见解析．
24.【答案】△ABC与△CBD 证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A，
∴CD=DA，
在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°，
∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°，
∴∠BDC=∠ACB，
∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A，
∠B=∠B，
∴CD为△ABC的巧等线 60°；30°；（）°；（）°
25.【答案】∵∠BAD+∠ABD=90°=∠BAD+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
又∵∠ADB=90°=∠CEA，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE，
∴DE=BD+CE △ABD与△CEF的面积之和为 136
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